10.12 NOTE
P3008 [USACO11JAN] Roads and Planes G
思路
观察到所有双向道路相连的点一定是强连通的，那么我们可以缩点，将整张图缩成一个 \(DEG\) ，在每一个强连通块内跑 \(Dijkstra\)，连通块之间通过拓扑排序更新答案。
总结
Dijkstra
单源最短路问题最基本的解法之一。
核心思想是：每次贪心地选取当前与源点距离最小的点，进行松弛操作。距离最小的点可以通过小根堆维护，时间很优。
贪心的证明：
反证法证明（最严谨）
假设
假设存在某个时刻，我们选择节点u（d[u]最小），但存在一条从s到u的更短路径P，其长度L(P) < d[u]。
分析路径P
路径P：s → ... → x → y → ... → u
其中：
x是路径P上最后一个属于S的节点
y是x在路径P上的下一个节点（y∉S）
推导矛盾
由于x∈S，在x被加入S时，我们已经用x更新过y的距离：
d[y] ≤ d[x] + w(x,y)
路径P从y到u的部分长度非负（边权非负）：
L(P) = d[x] + w(x,y) + L(y→u) ≥ d[x] + w(x,y)
结合1和2：
L(P) ≥ d[x] + w(x,y) ≥ d[y]
但u是当前Q中d值最小的节点：
d[u] ≤ d[y]
综合3和4：
L(P) ≥ d[y] ≥ d[u]
这与假设L(P) < d[u]矛盾
结论
假设不成立，因此d[u]确实是s到u的最短距离。
拓扑排序
这一题中根据拓扑序更新了答案，正确性的核心是拓扑排序保证了更新答案无后效性。
具体实现
每次将入度为0的结点压入队列依次处理，处理完每个结点后将其出边指向的结点的入度-1。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define Iseri namespace
#define Nina std
#define Kawaragi int
#define Momoka main
#define ls(p) (p<<1)
#define rs(p) (p<<1|1)
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define endl "\n"
#define pii pair<ll,ll>
const int maxn=100005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
using Iseri Nina;
inline ll read(){
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
//===========================================================
ll def[maxn],in[maxn],d[maxn],n,m,p,s,x,y,w;
bool vis[maxn];
vector<pii >v[maxn],e[maxn];
vector<ll>tmp[maxn];
inline void dfs(ll u,ll num){
def[u]=num;
tmp[num].push_back(u);
for(auto i:v[u]){
if(!def[i.first])dfs(i.first,num);
}
}
Kawaragi Momoka(){
n=read(),m=read(),p=read(),s=read();
for(ll i=1;i<=m;i++){
x=read(),y=read(),w=read();
v[x].emplace_back(y,w);
v[y].emplace_back(x,w);
}
for(ll i=1;i<=p;i++){
x=read(),y=read(),w=read();
e[x].emplace_back(y,w);
}
ll cnt=0;
for(ll i=1;i<=n;i++)if(!def[i])dfs(i,++cnt);
for(ll i=1;i<=n;i++)for(auto j:e[i])in[def[j.first]]++;
fill(d+1,d+1+n,inf);
d[s]=0;
queue<ll>q;
for(ll i=1;i<=cnt;i++)if(!in[i])q.push(i);
while(!q.empty()){
ll a=q.front();q.pop();
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >pq;
for(auto i:tmp[a])if(d[i]<inf)pq.push(make_pair(d[i],i));
while(!pq.empty()){
pii b=pq.top();pq.pop();
if(vis[b.second])continue;vis[b.second]=1;
for(auto i:v[b.second])
if(d[b.second]+i.second<d[i.first])
pq.push(make_pair(d[i.first]=d[b.second]+i.second,i.first));
for(auto i:e[b.second])d[i.first]=min(d[i.first],d[b.second]+i.second);
}
for(auto i:tmp[a])
for(auto j:e[i])if(--in[def[j.first]]==0)q.push(def[j.first]);
}
for(ll i=1;i<=n;i++){
if(d[i]==inf)printf("NO PATH\n");
else printf("%lld\n",d[i]);
}
return 0;
}
P7771 【模板】欧拉路径
欧拉路径
一笔画问题。就是在图上找一个环，使得每一条边在这个环上出现有且仅有一次。
几个性质：
有向图欧拉路径：图中恰好存在 1 个点出度比入度多 1（这个点即为 起点 S），1 个点入度比出度多 1（这个点即为 终点 T），其余节点出度=入度。
有向图欧拉回路：所有点的入度=出度（起点 S 和终点 T 可以为任意点）。
无向图欧拉路径：图中恰好存在 2 个点的度数是奇数，其余节点的度数为偶数，这两个度数为奇数的点即为欧拉路径的 起点 S 和 终点 T。
无向图欧拉回路：所有点的度数都是偶数（起点 S 和终点 T 可以为任意点）。
注：存在欧拉回路（即满足存在欧拉回路的条件），也一定存在欧拉路径。
求法
总之先记录每个点的入度和出度，在检查是否存在欧拉路径后，\(dfs\) 将所有经过的点压入栈中，最后一个个弹出输出即可。但要注意，在经过一条边之后要删掉这条边，避免重复经过。
删边可以用一个 map 或者 vis 数组存储是否访问过，随后正常 DFS 即可。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define Iseri namespace
#define Nina std
#define Kawaragi int
#define Momoka main
#define ls(p) (p<<1)
#define rs(p) (p<<1|1)
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define endl "\n"
#define pii pair<ll,ll>
const int maxn=100005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
using Iseri Nina;
inline ll read(){
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
//===========================================================
ll n,m,x,y,cd[maxn],rd[maxn],p[maxn],s=1,cnt[2];
vector<ll>v[maxn];
stack<ll>st;
inline void dfs(ll u){
for(ll i=p[u];i<v[u].size();i=p[u]){
p[u]=i+1;//这里这个p是记录了对于这个点应该走哪一条边（前面的边已经走过了）
dfs(v[u][i]);
}
st.push(u);
}
Kawaragi Momoka(){
n=read(),m=read();
for(ll i=1;i<=m;i++){
x=read(),y=read();
v[x].push_back(y);
cd[x]++;rd[y]++;
}
for(ll i=1;i<=n;i++)sort(v[i].begin(),v[i].end());
bool flag=1;
for(ll i=1;i<=n;i++){
if(rd[i]!=cd[i]){
flag=0;
if(cd[i]-rd[i]==1)cnt[1]++,s=i;
else if(rd[i]-cd[i]==1)cnt[0]++;
else{printf("No");return 0;}
}
}
if((!flag)&&!(cnt[0]==cnt[1]&&cnt[0]==1)){printf("No");return 0;}
dfs(s);
while(!st.empty()){printf("%lld ",st.top());st.pop();}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号