为什么MLA中求query也乘了降维矩阵和升维矩阵

MLA的公式放在这里：

\[\begin{align*} \mathbf{c}_t^{KV} &= W^{DKV}\mathbf{h}_t &(1) \\ [\mathbf{k}_{t,1}^C, \mathbf{k}_{t,2}^C, ..., \mathbf{k}_{t,n_h}^C] = \mathbf{k}_t^C &= W^{UK}\mathbf{c}_t^{KV} &(2) \\ \mathbf{k}_t^R &= \text{RoPE}(W^{KR}\mathbf{h}_t) &(3) \\ \mathbf{k}_{t,i} &= [\mathbf{k}_{t,i}^C; \mathbf{k}_t^R] &(4) \\ [\mathbf{v}_{t,1}^C, \mathbf{v}_{t,2}^C, ..., \mathbf{v}_{t,n_h}^C] = \mathbf{v}_t^C &= W^{UV}\mathbf{c}_t^{KV} &(5) \\ \mathbf{c}_t^Q &= W^{DQ}\mathbf{h}_t &(6) \\ [\mathbf{q}_{t,1}^C, \mathbf{q}_{t,2}^C, ..., \mathbf{q}_{t,n_h}^C] = \mathbf{q}_t^C &= W^{UQ}\mathbf{c}_t^Q &(7) \\ [\mathbf{q}_{t,1}^R, \mathbf{q}_{t,2}^R, ..., \mathbf{q}_{t,n_h}^R] = \mathbf{q}_t^R &= \text{RoPE}(W^{QR}\mathbf{c}_t^Q) &(8) \\ \mathbf{q}_{t,i} &= [\mathbf{q}_{t,i}^C; \mathbf{q}_{t,i}^R] &(9) \\ \mathbf{o}_{t,i} &= \sum_{j=1}^t \text{Softmax}_j(\frac{\mathbf{q}_{t,i}^T\mathbf{k}_{j,i}}{\sqrt{d_h + d_h^R}})\mathbf{v}_{j,i}^C &(10) \\ \mathbf{u}_t &= W^O[\mathbf{o}_{t,1}; \mathbf{o}_{t,2}; ...; \mathbf{o}_{t,n_h}] &(11) \\ \end{align*} \]

\(t\)是token序号，\(i\)是注意力头的序号

回答用户查询

用户的问题是：在生成查询向量 \(\mathbf{q}\) 时，为什么不直接使用一个普通的权重矩阵 \(W\) 来变换隐藏状态 \(\mathbf{h}_t\)（即 \(\mathbf{q}_t = W \mathbf{h}_t\)），而是在 MLA（多头潜在注意力）中选择通过 \(W^{DQ}\) 和 \(W^{UQ}\) 进行两步变换（即 \(\mathbf{c}_t^Q = W^{DQ} \mathbf{h}_t\)，然后 \(\mathbf{q}_t^C = W^{UQ} \mathbf{c}_t^Q\)）。用户认为直接使用单个 \(W\) 矩阵会更简单。下面我们将分析这种设计的合理性，并解释为什么 MLA 选择了两步变换。

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标准变换器中的方法

在标准的变换器模型中，查询向量 \(\mathbf{q}_t\) 的生成确实很简单：

\[\mathbf{q}_t = W^Q \mathbf{h}_t \]

这里：

• \(\mathbf{h}_t\) 是输入的隐藏状态，维度为 \(d\)，
• \(W^Q\) 是一个权重矩阵，维度为 \(d \times (d_h \cdot h)\)，其中 \(d_h\) 是每个注意力头的维度，\(h\) 是注意力头的数量，
• \(\mathbf{q}_t\) 是输出的查询向量，直接用于注意力机制的计算。

这种方法的好处是：

• 简单性：只需要一次矩阵乘法，易于实现。
• 计算效率：计算复杂度为 \(O(d \cdot d_h \cdot h)\)，非常直接。

因此，用户提出“直接乘一个 \(W\) 矩阵不是更简单吗”是有道理的，这种方法在标准变换器中已经被广泛验证。

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MLA 中的两步变换

在 MLA 中，查询向量的生成采用了不同的策略，分为两步：

1. 第一步：生成中间表示：

   \[\mathbf{c}_t^Q = W^{DQ} \mathbf{h}_t \]

   其中 \(W^{DQ}\) 是一个矩阵，将隐藏状态 \(\mathbf{h}_t\) 变换为一个中间表示 \(\mathbf{c}_t^Q\)，其维度记为 \(d_c\)。

2. 第二步：生成查询向量：

   \[\mathbf{q}_t^C = W^{UQ} \mathbf{c}_t^Q \]

   其中 \(W^{UQ}\) 将中间表示 \(\mathbf{c}_t^Q\) 进一步变换为查询向量的一部分 \(\mathbf{q}_t^C\)。最终，MLA 中的查询向量还结合了旋转位置嵌入（RoPE）生成的 \(\mathbf{q}_t^R\)，形式为 \(\mathbf{q}_{t,i} = [\mathbf{q}_{t,i}^C; \mathbf{q}_{t,i}^R]\)。

这种两步变换看起来比直接使用单个 \(W\) 矩阵复杂，那么它为什么会被采用呢？

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两步变换的潜在优势

尽管直接使用单个 \(W\) 矩阵更简单，但 MLA 的两步变换设计可能带来了以下好处：

1. 更高的灵活性和表达能力：

   • 通过引入中间表示 \(\mathbf{c}_t^Q\)，模型可以在不同注意力头之间共享这一表示。\(\mathbf{c}_t^Q\) 可以看作是对隐藏状态的一种通用特征提取，然后 \(W^{UQ}\) 为每个头定制化输出。
   • 这类似于多层感知机（MLP）中添加隐藏层的设计，能够增强模型的非线性表达能力，从而捕捉更复杂的模式。

2. 参数效率（低秩近似）：

   • 如果中间表示 \(\mathbf{c}_t^Q\) 的维度 \(d_c\) 小于隐藏状态的维度 \(d\)，那么 \(W^{DQ}\) 可以看作是对 \(\mathbf{h}_t\) 的降维操作。
   • 这种降维类似于低秩近似，可以减少后续 \(W^{UQ}\) 的参数数量。总体参数量从 \(d \cdot (d_h \cdot h)\) 变为 \(d \cdot d_c + d_c \cdot d_h \cdot h\)。当 \(d_c < d\) 时，这可能显著降低参数规模。

3. 计算和内存的优化：

   • 计算复杂度：单步变换的复杂度是 \(O(d \cdot d_h \cdot h)\)，而两步变换的复杂度是 \(O(d \cdot d_c + d_c \cdot d_h \cdot h)\)。如果 \(d_c\) 较小，两步变换的计算量可能更低。
   • 内存使用：虽然查询向量本身不被缓存，但在某些实现中，中间表示 \(\mathbf{c}_t^Q\) 可能被复用，减少重复计算。此外，MLA 在键和值生成中也使用了类似的参数共享（通过 \(W^{DKV}\) 生成 \(\mathbf{c}_t^{KV}\)），这显著降低了 KV 缓存的内存需求。查询的两步变换可能也遵循类似的优化逻辑。

4. 与位置编码的更好集成：

   • MLA 的查询向量结合了 \(\mathbf{q}_t^C\) 和 RoPE 生成的 \(\mathbf{q}_t^R\)。两步变换可能帮助模型更自然地将位置信息融入查询向量中，从而提升对长序列位置关系的建模能力。

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计算和内存的权衡

让我们简单对比一下两种方法的计算和内存需求：

• 单步变换：
  • 计算复杂度：\(O(d \cdot d_h \cdot h)\)
  • 参数数量：\(d \cdot d_h \cdot h\)
• 两步变换：
  • 计算复杂度：\(O(d \cdot d_c + d_c \cdot d_h \cdot h)\)
  • 参数数量：\(d \cdot d_c + d_c \cdot d_h \cdot h\)

如果 \(d_c < d\)，两步变换在参数数量和计算复杂度上可能更优，尤其是在处理长序列或需要高效 KV 缓存的场景中。虽然查询本身不被缓存，但这种设计可能与 MLA 整体的优化目标一致。

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为什么不直接用单个 \(W\) 矩阵？

回到用户的问题：直接用一个 \(W\) 矩阵确实更简单，但 MLA 的两步变换提供了以下潜在优势：

• 灵活性：允许模型学习更复杂的特征表示。
• 效率：通过降维或参数共享减少计算和内存开销。
• 性能：可能提升模型在长序列或复杂任务上的表现。

在标准变换器中，单步变换已经足够高效且效果良好。但在 MLA 中，设计者可能希望通过两步变换解决特定问题（如内存瓶颈或长序列建模），因此选择了这种看似复杂的方案。这种设计在其他现代变换器变体中也有类似思路，例如低秩注意力（Performer）或分组查询注意力（Grouped Query Attention），它们通过共享投影或降维来优化资源使用。