bzoj3122: [Sdoi2013]随机数生成器

[Sdoi2013]随机数生成器

难得一个完全自己推出来的数论题，结果还因为特判挂了好几个星期，今天才把特判打出来A掉。

开始以为要求a^x+bx≡c(mod p)这种形式的方程，然而并不会解，nc哥告诉我不是，我才想起来求通项公式（推了一节数学课推出来了）（mikufun推了一节物理课），

$X_{i+1}=aX_i+b=a^2X_{i-1}+ab+b=a^3X_{i-2}+a^2b+ab+b$

由此可得：

$X_n=X_1*a^{n-1}+b+ab+...+a^{n-2}b$

$      =X_1*a^{n-1}+b(a^0+a^1+...+a^{n-2})$

$      =X_1*a^{n-1}+b\frac{a^{n-1}-1}{a-1}$

$      =\frac{(a-1)X_1a^{n-1}}{a-1}+\frac{ba^{n-1}}{a-1}-\frac{b}{a-1}$

$      =\frac{[(a-1)X_1+b]a^{n-1}}{a-1}-\frac{b}{a-1}$

$\frac{[(a-1)X_1+b]a^{n-1}}{a-1}-\frac{b}{a-1}\equiv t(mod p)$

$[(a-1)X_1+b]a^{n-1}\equiv (a-1)t+b (mod p)$

bsgs解即可。

然而这题不加特判会爆0……

        if(x1==t){cout<<1<<endl;continue;}
        if(a==1)
        {
            if(!b){cout<<-1<<endl;continue;}
            else  {cout<<(t-x1+p)*poww(b,p-2,p)%p+1<<endl;continue;}
        }
        if(a==0)
        {
            cout<<(b==t?2:-1)<<endl;
            continue;
        }        

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define LL long long
#define int LL
using namespace std;
int T;
LL p,a,b,x1,t;
LL poww(LL a,LL b,LL p)
{
	LL ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;
		b=b>>1;
	}
	return ans%p;
}
LL bsgs(LL a,LL b,LL p)
{
	map<LL,LL>mp;mp.clear();
	LL m=ceil(sqrt(p*1.0));
	for(int j=0;j<=m;j++)
	{
		LL val=b*poww(a,j,p)%p;
		mp[val]=j;
	}
	a=poww(a,m,p);
	if(!a)return !b?0:-1;
	for(int i=0;i<=m;i++)
	{
		LL val=poww(a,i,p);
		LL j=mp.find(val)==mp.end()?-1:mp[val];
		if(j>=0 && i*m-j>=0)return i*m-j;
	}
	return -1;
}
signed main()
{
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x1,&t);
		if(x1==t){cout<<1<<endl;continue;}
		if(a==1)
		{
			if(!b){cout<<-1<<endl;continue;}
			else  {cout<<(t-x1+p)*poww(b,p-2,p)%p+1<<endl;continue;}
		}
		if(a==0)
		{
			cout<<(b==t?2:-1)<<endl;
			continue;
		}
		LL tb,inv;
		inv=poww((a-1)*x1%p+b,p-2,p);
		inv=(inv%p+p)%p;
		tb=((a-1)*t%p+b)%p*inv%p;
		LL ans=bsgs(a,tb,p);
		cout<<(ans==-1?-1:ans+1)%p<<endl;
	}
}