51nod2026 Gcd and Lcm

题目

求

\[\large \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(\gcd(i,j))f(lcm(i,j)) \]

其中，\(\large f(x)=\sum\limits_{d\vert x}\mu(d)d\)

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分析

因为先推柿子推不动了，然后发现有个积性函数的性质，所以我们先不慌推柿子。

首先根据狄利克雷卷积的性质，很容易知道 \(f\) 是个积性函数，有 \(f(n)f(m)=f(nm)\) \((\gcd(n,m)=1)\)

接下来考虑 \(f(\gcd(i,j))\times f(lcm(i,j))\) ：

\[\large \begin{split} &\ \ \ \ \ f(\gcd(i,j))\times f(lcm(i,j))\\ &=\prod_{i=1}^{k}f(p_{i}^{\min(a_i,b_i)})\times f(p_{i}^{\max(a_i,b_i)})\\ &=\prod_{i=1}^{k}f(p_i^{a_i})\times f(p_i^{b_i})\\ &=f(\prod_{i=1}^kp_i^{a_i})f(\prod_{i=1}^kp_i^{b_i})\\ &=f(i)\times f(j) \end{split} \]

然后再推推柿子吧：

\[\large \begin{split} &\ \ \ \ \ \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(\gcd(i,j))\times f(lcm(i,j))\\ &=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(\gcd(i,j))\times f(\frac {i\cdot j}{\gcd(i,j)})\\ &=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(i)f(j)\\ &=\sum_{i=1}^nf(i)\sum_{j=1}^nf(j)\\ &=\left(\sum_{i=1}^nf(i)\right)^2\\ &=\left(\sum_{i=1}^n\sum_{d\vert i}\mu(d)d\right)^2\\ &=\left(\sum_{d=1}^n\mu(d)d\lfloor\frac nd\rfloor\right)^2 \end{split} \]

于是我们考虑杜教筛筛出 \(\mu(d)d\) ，然后除法分块即可。

代码

鸽了。