容斥与二项式反演

先挖坑，后填坑。

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容斥

容斥，实际上就是用总的方案数减去不合法的方案数。

我们考虑以下组合恒等式：

\[\sum_{i = 0}^{n} (-1) ^ {i} C_{n}^{i} = [n = 0] \]

为什么这个式子跟容斥有关呢？

我们考虑不合法的数量为 \(n\)，如果我们计算 \(n\) 的子集并且乘上容斥系数后，你就会发现答案只有在 \(n = 0\) 时有值，所以这个就是对的。

分特产

我们考虑钦定 \(i\) 个人不选特产，其余任意的方案数，这个可以用挡板法解决，所以答案就为：

\[\sum_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i} C_n^i \prod_{j = 1}^m C_{a_j + n - i - 1}^{a_j} \]

硬币购物

我们先考虑没有硬币的情况，可以发现这个可以直接用多重背包预处理来做。

那么现在加上限制后我们考虑容斥，我们枚举至少集合内不满足条件，那么这个只需要减一减然后再乘个容斥系数就做完了。

[SDOI2013] 方程

我们这里只考虑模数是质数的情况。

首先没有限制是好做的，直接挡板法即可，然后你就会发现第二种限制也是好做的，可以理解为在这个集合内拿走一些数，之后我们在考虑容斥，把第一种限制转换为第二种限制，然后就做完了。

水仙花

我们注意到连续的一段钦定不合法的长度不会超过 \(\log_2 m\) 之后我们预处理一个东西，设 \(pre_{i,j}\) 表示连续不合法长度为 \(i\)，结尾为 \(j\) 的方案数，这个是好转移的，之后对于同一长度的求个和，记为 \(sum_i\)，目前复杂度 \(O(m \log_2^2 m)\)。

之后我们利用容斥先写出答案的表达式：

\[ans = \sum_{i = 0}^n f(i) \ \ (-1)^i \]

其中我们设 \(f(i)\) 表示钦定 \(i\) 个不合法方案数，我们上魔法，根据上面的式子设计出来一个 dp，我们设 \(dp_i\) 表示考虑到前 \(i\) 个数的答案，那么就有如下转移：

\[dp_i = \sum_{i = 1}^{\log_2 m} dp_{j - i} \ \ sum_j \ \ (-1)^{j - 1} \]

之后就没了。

二项式反演

我们知道容斥可以解决所有都满足某种条件的情况，而二项式反演就可以解决恰好 \(k\) 个满足条件的方案数。

我们记 \(f_i\) 表示恰好 \(i\) 个满足条件的方案数， 如果 \(f\) 不好直接求的话，我们再设一个 \(g_i\) 表示至少 \(i\) 个满足条件，那么我们就有：

\[g_i = \sum_{k = i}^n f_k C_k^i \]

感性理解一波，就是说恰好 \(j\) 个满足条件的会给至少 \(i\) 个满足条件贡献 \(C_j^i\) 次。

二项式反演就是说：

\[f_i = \sum_{k = i}^n (-1)^{k - i} g_k C_k^j \]

证明我不会，粘一个源神的：

这个式子如何记忆呢？

实际上就是原来的式子把 \(f, g\) 互换，再乘一个容斥系数。