「LNOI2022」盒

我要把你开盒挂网上。

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我们定义一波：

\(s_i = \sum_{j = 1}^{i} a_j\)

那我们确定 \(b\) 后，答案是好算的，我们用 \(z_i\) 表示 \(b\) 的前缀和，就有：

\[ans_b = \sum_{i = 1}^{n} v_i \times |s_i - z_i| \]

写40分跑路吧。

之后我们考虑每个 \(v_i\) 的贡献，通过挡板法就有：

\[ans = \sum_{i = 1}^{n - 1} v_i \sum_{j = 0}^{S} |j - s_i| \cdot C^{i - 1}_{i + j - 1} \cdot C^{n - i - 1}_{S + n - j - i - 1} \]

前一个组合数相当于有 \(j\) 个小球，分为 \(i\) 个集合，集合可以为空。
前一个组合数相当于有 \(S - j\) 个小球，分为 \(n - i\) 个集合，集合可以为空。

之后我们先只看内部的🦁（即第二个求和之后），考虑拆绝对值，就有：

\[ans_i = 2 \sum_{j = 0}^{s_i} (s_i - j) \cdot C^{i - 1}_{i + j - 1} \cdot C^{n - i - 1}_{S + n - j - i - 1} + \sum_{j = 0}^{S} (j - s_i) \cdot C^{i - 1}_{i + j - 1} \cdot C^{n - i - 1}_{S + n - j - i - 1} \]

这个式子的含义是先考虑 \(s_i > j\) 的部分，之后我们考虑全体的 \(j - s_i\)，它在 \(s_i > j\) 时是负的，所以需要二倍。

我们先解决后面的🦁，后面的等于：

\[\sum_{j = 0}^{S} j \cdot C^{i - 1}_{i + j - 1} \cdot C^{n - i - 1}_{s + n - j - i - 1} - s_i \sum_{j = 0}^{S} C^{i - 1}_{i + j - 1} \cdot C^{n - i - 1}_{S + n - j - i - 1} \]

我们利用组合恒等式：

\[j \ C_{i + j - 1}^{i - 1} = i \ C_{i + j - 1}^{j - 1} \]

这个把组合数写开就能证明。

原式就等于：

\[i \sum_{j = 0}^{S} C^{j - 1}_{i + j - 1} \cdot C^{S - j}_{S + n - j - i - 1} - s_i \sum_{j = 0}^{S} C^{j}_{i + j - 1} \cdot C^{S - j}_{S + n - j - i - 1} \]

为避免组合数出现负数，我们把前面的 \(j - 1\) 换成 \(j\)，就有

\[i \sum_{j = 0}^{S - 1} C^{j}_{i + j} \cdot C^{S - j - 1}_{S + n - j - i - 2} - s_i \sum_{j = 0}^{S} C^{j}_{i + j - 1} \cdot C^{S - j}_{S + n - j - i - 1} \]

之后就该上玄学了，我不会。

我们先算从 \((0, 0)\) 走到 \((n, m)\) 的方案数，显然是 \(C_{n + m}^{n}\)，那我们再考虑经过 \((i, j) \to (i + 1, j)\) 的方案数，就有以下恒等式：

\[C_{n + m}^{n} = \sum_{j = 1}^{m} C_{i + j}^{j} \cdot C_{n + m - i - j - 1}^{m - j} \]

把上边那个🦁用下面的形式表示，原式就等于：

\[iC_{S + n - 1}^{n} - s_iC_{S + n - 1}^{S} \]

这个是好维护的。

然后我们在看之前的前面那个🦁，即：

\[\sum_{j = 0}^{s_i} (s_i - j) \cdot C^{i - 1}_{i + j - 1} \cdot C^{n - i - 1}_{S + n - j - i - 1} \]

我们利用同样的手法化简到：

\[s_i \sum_{j = 0}^{s_i} C^{j}_{i + j - 1} \cdot C^{S - j}_{S + n - j - i - 1} - i \sum_{j = 0}^{s_i - 1} C^{j}_{i + j} \cdot C^{S - j - 1}_{S + n - j - i - 2} \]

之后我们再上一次同样的玄学。

我们先算从 \((0, 0)\) 走到 \((n, m)\)，其中在第 \(p\) 行到第 \(p + 1\) 行时，不超过第 \(q\) 列的方案数，记作 \(f(n, m, p, q)\)，就有：

\[\sum_{i = 0}^{q} C_{p + i}^{i} \cdot C_{n + m - p - i - 1}^{m - i} \]

之后我们换个角度理解，相当于在 第 \(q\) 列到 第 \(q + 1\) 列时至少在第 \(p + 1\) 行，就有：

\[\sum_{i = p + 1}^{n} C_{q + i}^{i} \cdot C_{n + m - q - i - 1}^{n - i} \]

上面两个式子为恒等式

那么原式就相当于：

\[s_i \ f(n - 1, S, i - 1 , s_i) - i * f(n, S - 1, i, s_i - 1) \]

然后用个类似莫队的东西就做完了，代码如下：

点击查看代码

// Problem: #P3739. 「LNOI2022」盒
// Contest: Hydro
// URL: http://172.20.0.170/d/jzyz/p/P3739
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 3000 ms
// Author: Air2011
// 
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define Air
namespace io{inline int read(){int x;cin>>x;return x;}inline void write(int x){cout<<x;}}
using namespace io;
int n;
const int N = 3e6 + 10, MOD = 998244353;
int a[N], w[N];
int sum[N];
int fac[N];
int inv[N];
int C(int n, int m){
	if(n < m) return 0;
	return fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
}
int quick_pow(int a, int b){
	if(!b) return 1;
	if(b % 2){
		return a * quick_pow(a, b - 1) % MOD;
	}
	else{
		int temp = quick_pow(a, b / 2);
		return temp * temp % MOD;
	}
}
struct Func{
	int n, m, p ,q;
	int ans;
	void pre(int x, int y){
		n = x;
		m = y;
		p = 0;
		q = 0;
		ans = C(x + y - 1, y);
	}
	int calc(int P, int Q){
		while(q < Q){
			q ++;
			ans += C(p + q, p) * C(n + m - p - q - 1, m - q) % MOD;
			ans %= MOD;
		}
		while(p < P){
			p ++;
			ans -= C(p + q, q) * C(n + m - p - q - 1, n - p) % MOD;;
			ans %= MOD;
		}
		return ans;
	}
}f, g;//拆绝对值

void work(){
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		a[i] = read();
		sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
	}
	for(int i = 1; i < n; i++){
		w[i] = read();
	}
	f.pre(n - 1, sum[n]);
	g.pre(n, sum[n] - 1);
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i < n; i++){
		int cha = 0;
		cha += i * C(n + sum[n] - 1, n) % MOD; cha %= MOD;
		cha -= sum[i] * C(n + sum[n] - 1, sum[n]) % MOD; cha = (cha % MOD + MOD) % MOD;
		if(sum[i] != 0) cha += 2 * sum[i] * f.calc(i - 1, sum[i]) % MOD; cha %= MOD;
		if(sum[i] != 0) cha -= 2 * i * g.calc(i, sum[i] - 1) % MOD; cha = (cha % MOD + MOD) % MOD;
		ans += cha * w[i] % MOD; ans %= MOD;
	}
	cout << ans << '\n';
}
signed main() {
#ifndef Air
	freopen(".in","r",stdin);
	freopen(".out","w",stdout);
#endif
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
	fac[0] = inv[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N; i++){
		fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
	}
	inv[N - 1] = quick_pow(fac[N - 1], MOD - 2);
	for(int i = N - 2; i >= 1; i--){
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
	}
	int TCS = read();
	while(TCS --){
		work();
	}	
	return 0;
}