概率期望总结

并非这本

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概率基础

古典概型

• 样本空间有限
• 基本事件等可能发生

若事件 \(A\) 包含 \(k\) 个基本事件，样本空间有 \(n\) 个基本空间。

于是显然就有:

\[P(A) = \frac{k}{n} \]

条件概率

• \(P(B | A)\) 表示在 \(A\) 发生的情况下 \(B\) 发生的概率

有：

\[P(B | A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \]

画个图的话就是：

乘法原理

\[P(AB) = P(A)P(B|A) \]

\[P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB) \]

那么如果 \(A,B\) 独立就有：

\[P(AB) = P(A)P(B) \]

全概率公式与贝叶斯公式

设样本空间为 \(S\)，\(B_1, ..., B_n\) 是 \(S\) 的一个划分，有

\[P(A) = \sum_{i = 1}^{n} P(A|B_i)P(B_i) \]

这就是全概率公式。

定义如上，还有：

\[P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j = 1}^{n} P(A|B_j)P(B_j)} \]

这就是贝叶斯公式。

以上公式感觉画个图是好理解的，并可证明：

连续性随机变量的分布与密度函数

随机变量 \(X\) 的分布函数：

\[F(x) = P \{ X \le x \} \]

密度函数 \(f(x)\) 满足：

\[F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt \]

积分感性理解一下就是面积，和求导为逆运算。

感觉以上的知识对我们解决 OI 题没有任何帮助。

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我们会前置知识 \(1\) 了，现在来杀穿 校OJ 的训练吧！

绑鞋带

我们不妨设现在已经连成链的有 \(i\) 个，则下次练成一条链的概率为：

\[\frac{2n - 2i - 2}{2n - 2i - 1} \]

答案就为：

\[\prod_{i = 0}^{n - 2} \frac{2n - 2i - 2}{2n - 2i - 1} \]

神盾局特工

如何呢，状压DP 秒了。

Bad Luck Island

我们设 \(dp_{i,j,k}\) 表示三种人每种分别还剩这么多的概率，转移是好转的

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数学期望

设 \(E(X)\) 表示随机变量的期望，就有：

\[E(X) = \sum {x \cdot p_x} \]

实际上就是值乘概率。

如果随机变量 \(X\) 是连续的，就有：

\[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} tf(t)dt \]

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我们会前置知识 \(2\) 了，现在来杀穿 校OJ 期望的训练吧！

B君的连通

答案很好推，为

\[2^{n - 2} (n - 1) + 2^{n - 1} \]

Ilya and Escalator

我们考虑设 \(dp_{i,j}\) 表示第 \(i\) 秒，有 \(j\) 个人在电梯的概率，转移好转，之后用定义式即可。

绿豆蛙的归宿

一讲期望就绕不开这一题，我们建反图，然后设 \(dp_i\) 表示 \(i \to n\) 的期望步数，然后跑拓扑排序，有转移：

\[\frac{1}{deg_v}(dp_u + val) \to dp_v \]

为什么不能正着跑：
因为到达每个点的概率不同，我们上述 dp 设计不用考虑此问题。

如果自己向自己连边或连成个环怎么办？
我们只需要带入之后解方程即可。

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总结

我们拿到一道期望或概率题可以从以下角度考虑：

• 直接大力写 \(O(能过)\) 的式子
• 考虑 DP
• 转化为绿豆蛙的归宿