【题解】D. Cheater

背景

赛时左右脑互博 \(1\) 小时后才过 B，遂直接看了 D。

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题意

两个人在玩游戏，每个人有 \(n\) 张写有不同数字的牌，每个人都按顺序出牌，数字大的那一方赢，然后打出下一张牌并继续于另外一人的牌比较，比较一共进行 \(n\) 轮，问现在有一个人能交换两张自己的牌，最多一次，问这个人能获得的最大分数。

思路

我们注意到一共只会比较 \(n\) 轮，所以我们可以考虑枚举对方最少能活动多少分，我们假设对手得分 \(x\) 分，意味着我方前 \(n-x\) 牌必须出完，我们注意到当对手目前的牌为前 \(x\) 张的最小牌时，如果我方还没有出不了前 \(n-x\) 张牌，那么我方一定无法获得 \(n-x\) 分。

证明：对手的最小牌我方都出不了牌，那么对手往后的牌我方也一定出不了。

我们考虑我方那些牌会使我方在对手最小牌时出不了，显然是那些小于对手的最小牌的，于是我们对这一张牌与我们不需要出的牌的最大的牌交换，然后看是否还有我们出不了的牌，体现就是小于对手的最小牌的数量不能大于等于 \(2\) 张。

但是直接做复杂度是 \(O(n^2)\) 的我们考虑优化。

我们可以二分出来这个 \(x\)，然后就做完了，复杂度 \(O(n \log n)\)。

代码

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// Problem: D. Cheater
// Contest: Codeforces - Codeforces Round 1031 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/2113/problem/D
// Author: Air2011
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 循此苦旅，直抵群星！
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define Air
namespace io{
    inline int read(){
        int f=1,t=0;char ch=getchar();
        while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
        while(ch>='0'&&ch<='9'){t=t*10+ch-'0';ch=getchar();}
        return t*f;
    }
    inline void write(int x){
        if(x<0){putchar('-');x=-x;}        
        if(x>=10){write(x/10);}
        putchar(x%10+'0');
    }
}
using namespace io;
int n;
const int N=2e5+10;
int a[N];
int b[N];
bool check(int x){
	int kk=1e18;
	for(int i=1;i<=x+1;i++){
		kk=min(kk,b[i]);
	}
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n-x;i++){
		if(a[i]<=kk){
			cnt++;
			if(cnt>=2)return 0;
		}
	}
	if(cnt==0){
		return 1;
	}
	int maxx=0;
	for(int i=n-x+1;i<=n;i++){
		maxx=max(maxx,a[i]);
	}
	return maxx>kk;
}
void work(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
	}	
	for(int j=1;j<=n;j++){
		b[j]=read();
	}
	int l=0,r=n,mid;//让对手拿mid分
	int res=0;
	while(l<=r){
		mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)){
			res=mid;
			r=mid-1;
		}
		else{
			l=mid+1;
		}
	}
	write(n-res);
	putchar('\n');
}
signed main() {
#ifndef Air
	freopen(".in","r",stdin);
	freopen(".out","w",stdout);
#endif
	int TCS=read();
	while(TCS--){
		work();
	}
	return 0;
}