树链剖分总结

我这辈子都不会再写树链剖分了。

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重链剖分

重链剖分就是将一棵树分成若干条链，每条链在线段树上映射成一个区间，对于每条链，其满足任意一点与其相连儿子，这个儿子是其子树中大小最大的，可用于解决路径操作。

这样划分有一个性质是从任意一点往上跳最多经过 \(\log_2 n\) 条不同的链，这样就可以在 $ O(n \ \log^2n )$ 的复杂度完成任意一点到其某个祖先的操作。

但如果操作是一个路径。

我们得先学会用重链剖分求 LCA。

重链剖分求 LCA

要求 \(x,y\) 两点的 LCA，我们先求出每个点所在的链的链首节点，记作 \(bl_i\)。当两点链首不同时，我们让链首深的往上跳到下一条链，直到两者链首相同，返回深度浅的即为 LCA。

重链剖分 路径操作

因为在求 LCA 中，每次所往上跳的都是一个在线段树上都是区间，直接维护就做完了。

长链剖分

顾名思义，就是每次的链都是能拿到的最长的，维护子树最深节点就能做，每次往上最多跳 \(\sqrt n\) 次。

长链剖分 k级祖先

我们维护每个链首长度为链长 \(d\) 向上向下 \(2d\) 个节点，假设要求 \(k\) 级祖先，就先找到 \(2^{i+1} > k \ge 2^i\) 的 \(i\)，用类似 倍增LCA 的方法找到 \(2^i\) 级祖先，我们问题就转换为求 \(k-2^i\) 级祖先，假设所在链首为 \(bl\)，链长为 \(d\)。

因为 \(k-2^i < 2^i \le d\)，第二个小于等于是因为这是长链剖分，如果往上跳了 \(2^i\) 层所到的链还没有 \(2^i\) 长，纳闷这条链一定不是长链，往上跳 \(2^i\) 所经的链才是长链。

由于我们先前维护过链首上下的点，所以直接拿来用就做完了。