Query on a tree 系列之树剖解法
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\(\texttt{Qtree}\) 系列树剖题解（告别 \(\texttt{LCT}\) !）
前言
众所周知 Qtree 系列是 LCT 的题目
但由于蒟蒻平衡树写的fhq，不会Splay，所以蒟蒻不会 LCT，所以蒟蒻决定用树剖写完 Qtree 系列的所有题
QTREE - Query on a tree
直接树剖加线段树，每个点的权值为指向父亲的边权。
注意不要把 LCA 算进去了
Luogu 的 vjudge 只能用 C语言 ，害得我 CE 了一页
关于本题 C 语言的 \(\texttt{Tips}\) :
- 不要用
inline - 头文件选择
#include <ctype.h>和
#include <stdio.h>就够了 - 不要快读，只能用
scanf和printf - 没有
max和swap函数，要自己手写 - 没有
const - 不能
using namespace std; - 没有
string类型 - 函数间不能用
,，比如不能写dfs(1), dfs(2);，只能写dfs(1); dfs(2);
希望你能少 CE 一点
QTREE2 - Query on a tree II
路径和可以树上前缀和
求第 \(k\) 个点时先判和 LCA 的关系，如果大于 \(dep_u - dep_{lca}\) ，就找 \(v\) 的 \(len - k\) 级祖先，否则找 \(u\) 的 \(k - 1\) 级祖先
LCA 用重剖，\(k\) 级祖先用长剖，总时间 \(O(nlogn)\)
长剖写错，多测不清空会 RE！！！
QTREE3 - Query on a tree III
线段树维护区间最浅点，查询向上跳就行了
最简单的一题
（要不是 Qtree1 只能写 C语言）
QTREE4 - Query on a tree IV
难度陡然上升
先树剖，并对每条重链开一棵线段树
对于线段树上的一个节点 \(p\)，其对应区间为 \([L,R]\)（重链上的一条路径）
记 \(lmx_p\) 表示从 \(L\) 出发，在 \([L,R]\) 间的某个节点拐出重链能到达的最远白点，\(rmx_p\) 同理，\(mx_p\) 表示 LCA 在\([L,R]\) 间的每对白点间距离的最大值
考虑线段树合并
记当前线段树上节点为 \(p\)，区间为 \([L,R]\) ，左右儿子分别为 \(ls\) 对应\([L,mid]\)，\(rs\) 对应 \([mid+1,R]\)
\(lmx_p=\max\{lmx_{ls},dis(L,mid+1)+lmx_{rs}\}\)
\(rmx_p=\max\{rmx_{rs},dis(mid,R)+rmx_{ls}\}\)
\(mx_p=\max\{mx_{ls},mx_{rs},rmx_{ls}+dis(mid,mid+1)+lmx_{rs}\}\)
接下来考虑边界（线段树叶子节点）
记当前线段树上节点为 \(p\)，对应 \([L,L]\)
记 \(d_i, d’_i\) 表示以 \(i\) 为根的轻子树内，根到白点的最远距离和次远距离，不存在即为 \(-\infty\)
当 \(L\) 为白点时：
\(lmx_p=rmx_p=\max\{0,d_L\}\)
\(mx_p=\max\{0,d_L,d_L+d'_L\}\)
当 \(L\) 为黑点时：
\(lmx_p=rmx_p=d_L\)
\(mx_p=d_L+d'_L\)
\(d\) 和 \(d’\) 如何维护？
记当前节点为 \(u\) ，它的一个轻儿子为 \(v\)
由于 \(u\) 在重链上，\(v\) 是 \(u\) 的轻儿子，所以 \(v\) 一定是另一条重链的开端
所以 \(v\) 的 dfn 就是 \(v\) 所在的这条重链所对应区间的左端点
所以从 \(v\) 出发到其子树内最远白点的距离就是这条重链的线段树的根的 \(lmx\)
记这个根为 \(p\)
若 \(u\) 为白点：\(d_u=\max\{w(u,v)+lmx_p,0\}\)
若 \(u\) 为黑点：\(d_u=\max\{w(u,v)+lmx_p\}\)
具体可以每个节点开一个 multiset，把轻儿子的 \(lmx+w\)丢进去，如果是白点再丢个 \(0\) ，那么 \(d\) 就是堆顶
对于修改，只需不断向上跳重链，同时删除原来贡献，加入新的贡献
由于一次修改最多更新 \(logn\) 次，所以时间复杂度为 \(O(nlog^2 n)\)
这样写属实有点搞心态，而且三个 \(log\) 有点丑
还有个比较简便的做法
可以添加虚点将树变为二叉树，如图
红点为虚点，红边边权为 \(0\)
这样每个点只有一个重儿子，一个轻儿子，那么 \(d\) 就唯一确定，\(d'\) 必为 \(-\infty\) ，不需要开 multiset 了
QTREE5 - Query on a tree V
树剖解法
网上没找到写树剖的题解，蒟蒻试着写了一下树剖，其表现良好，写篇题解为像我一样不会 LCT 的同学提供一种思路
虽然树剖比 LCT 多一个 log，但凭借优秀的常数跑得还是比大部分 lct 更快 （目前排 luogu 最优解第四）
与 Qtree4 类似，每条重链开一棵线段树
对于线段树上的一个节点 \(p\)，其对应区间为 \([L,R]\)（重链上的一条路径）
记 \(lmn_p\) 表示从 \(L\) 出发，在 \([L,R]\) 间的某个节点拐出重链能到达的最近白点（这点与 Qtree4 不同），\(rmn_p\) 同理。（由于询问是关于某个点的信息，不再是全局信息了，所以不需要维护 \(mx\)）
转移与 Qtree4 类似
\(lmn_p = \min\{lmn_{ls},dis(L,mid+1)+lmn_{rs}\}\)
\(rmn_p = \min\{rmn_{rs},dis(mid, R)+rmn_{ls}\}\)
记 \(d_i\) 表示以 \(i\) 为根的轻子树内，根到白点的最远距离，不存在为 \(+\infty\) （这点不同）
这里同样改建二叉树以维护 \(d_i\) ，\(v\) 是 \(u\) 的轻儿子
若 \(u\) 为白点：\(d_u=\min\{w(u,v)+lmn_p,0\} = 0\)
若 \(u\) 为黑点：\(d_u=w(u,v)+lmn_p\)
线段树边界节点 \(p\)，对应区间 \([L, L]\)：
当 \(L\) 为白点时：
\(lmn_p=rmn_p=\min\{0,d_L\} = 0\)
当 \(L\) 为黑点时：
\(lmx_p=rmx_p=d_L\)
以上部分与 Qtree4 的解题思路相仿，略微改动就行，更新颜色也和 Qtree4 一样，不断跳链即可
重点是如何根据我们维护的 \(lmn\) 和 \(rmn\) 得到距 \(u\) 最近白点 \(v\) 的 \(dis(u, v)\)
由于我们维护的是以左端或右端为起点的最小距白点距离，所以只有当 \(u\) 为区间的边界时，我们才能直接用上对应的 \(lmn\) 和 \(rmn\)
所以设当前询问点 \(u\) 所在重链的 \(\text{dfn}\) 区间为 \([L,R]\)
那么 \(u\) 在这条重链上的答案（指白点在以链顶为根的子树内）可由以下两种情况贡献：
-
\(u\) 作为左端点，贡献 \(lmn\)，即 \(lmn_{[dfn_u,R]}\)，相当于统计链底到 \(u\) 的答案
-
\(u\) 作为右端点，贡献 \(rmn\)，即 \(rmn_{[L,dfn_u]}\)，相当于统计 \(u\) 到链顶的答案
这条重链的答案为上述两种情况取 \(\min\)
而对于白点在子树外的情况，只需不断跳重链，跳到根为止，统计新的重链的答案，跳的时候加上链顶到 \(u\) 的距离，最后再对条重链上的答案取个最小值便是此次询问的答案
由于跳 \(O(logn)\) 条重链，每条重链统计答案需要 \(O(logn)\) 的时间，所以总时间复杂度 \(O(nlog^2n)\)
注意的是这道题所有节点初始为黑色
QTREE6 - Query on a tree VI
这题树剖有两种解法，一种是延续 IV、V 的思路，维护端点最值，另一种是每个点单独考虑，这边先写的第二种，第一种后面补
设 \(b_u, w_u\) 分别表示在以 \(u\) 为根的子树内，如果 \(u\) 为 黑/白 点，\(u\) 的同色最大联通块的大小
初始由于全是黑点，所以 \(b_u = siz_u, w_u = 1\)
询问时，只需向上跳到最远的与 \(u\) 同色的点，它的 \(b\) /\(w\) 即为答案
对于修改，先考虑把 \(u\) 由黑变白
-
由于 \(u\) 不再是黑点了，所以有它是黑点所带来的贡献要全部删去。
而 \(u\) 所贡献的只能是它的祖先，并且与它在同一个黑色连通块内，或者是在 \(u \rightarrow root\) 路径上第一个白点（贡献这个白点为黑点时的答案），所以找到第一个白点 \(v\)，\(fa_u \rightarrow v\) 路径上所有点的 \(b\) 减去 \(b_u\) （相当于 \(u\) 阻断了祖先的黑色连通块与子树内的黑色连通块）
-
由于 \(u\) 变为了白点，所以它会带来一些贡献
而 \(u\) 所贡献的也是它的祖先，并与它在同一个白色联通块内，或者是在 \(u \rightarrow root\) 路径上第一个黑点，所以找到第一个黑点 \(v\)，\(fa_u \rightarrow v\) 路径上所有点的 \(b\) 加上去 \(w_u\) （相当于 \(u\) 联通了祖先的白色连通块和子树内的白色联通块）
这两步都可以用线段树区间加实现
还有个问题就是怎么求 \(u \rightarrow root\) 路径上的第一个 ，这个与 Qtree3 类似
而至于求 \(u \rightarrow root\) 上最远的同色连通块内的点，Qtree3 的操作改一下就行了，即每次查父亲到父亲链顶的第一个异色点，没查到就跳到父亲链顶的位置，否则特判：如果这个异色点是父亲，就返回当前点；否则返回这个点的重儿子。具体看代码
细节比较多，但只要熟悉树剖都能发现
码量和常数似乎都变大了
QTREE7 - Query on a tree VII
还是利用 QTree4 的思想
线段树合并：当前节点 \(p\) ,表示区间为 \([L,R]\)
设 \(lmx_{p}\) 表示 \(L\) 所在同色连通块内的最大权值
设 \(rmn_{p}\) 表示 \(R\) 所在同色连通块内的最大权值
光这样显然是合并不了的，考虑合并需要什么
对于当前节点 \(p[L,R]\) ，左右儿子分别为 \(ls[L,mid]\)，\(rs[mid + 1, R]\)
显然 \(lmx_{ls}\) 可以贡献给 \(lmx_p\) ，但 \(lmx_{rs}\) 呢？
如果左儿子全是一个颜色，并且与右儿子最左边的颜色相同，那么是不是 \(lmx_{rs}\) 也可以贡献给 \(lmx_p\)？
所以设 \(lsiz_p\) 表示左端点所在同色连通块包含区间内的点数（即 \(L\) 在重链上的同色连通块的大小），\(rsiz_p\) 同理
那么转移就出来了：
\(lmx_p = \max(lmx_{ls} , lmx_{rs}[lsiz_{ls} = mid - l + 1][col_{mid} = col_{mid +1}])\)
\(rmx_p = \max(rmx_{rs} , rmx_{ls}[rsiz_{rs} = r - mid][col_{mid} = col_{mid+}])\)
\(lsiz_p = lsiz_{ls} + lsiz_{rs}[lsiz_{ls} = mid - l + 1][col_{mid} = col_{mid +1}]\)
\(rsiz_p = rsiz_{rs} + rsiz_{ls}[rsiz_{rs} = r - mid][col_{mid} = col_{mid +1}]\)
边界情况：设 \(v\) 为 \(u\) 的轻儿子
\(lmx_u = rmx_u = \max\limits_v \{lmx_{rt_v}[col_u = col_v], w_u\}\)
\(lsiz_u = rsiz_u = 1\)
询问：
只需跳到最浅的，同一同色连通块内的祖先，再查，该祖先到其所在链链底这个区间， \(lmx\) 即为答案，但要注意特判跳到根的情况，以及跳时颜色是否相同，细节看代码
修改：
先删除原来的贡献，加入新的贡献，这个只需每个点每个颜色用一个 multiset 维护，记录该颜色连通块内的最大权值即可
然后一边跳重链一边改，同时记录上一个节点（从哪里跳来），和之前的贡献，以便删除贡献和添加贡献，细节在于改颜色时上一个点是否就是修改的点，如果是，在删贡献是要在反色 multiset 里面删（它原来的贡献是存在那里面的）
也是调了好久，拍了一下午
好在树剖依旧稳定输出，拿下最优解第四
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