以 man page 的方式打开普物光学
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1
NAME
man - 普物光学参考手册的接口
SYNOPSIS
光学的知识不像电磁学那么体系化，一步一步推进，而是以在基础知识上一个一个知识点的形式出现的。因此我觉得挺适合用手册的形式来总结。所以我就整个活，用手册的的方式打开普物光学。作为我的复习笔记。
现在的版本为 \(0.1.0\)，即还在施工中，未发布正式版本。
DESCRIPTION
man 是 Unix 系统中用于查看系统手册的命令，分为几个章节，每个章节下面有几个手册页。本文将以手册的方式组织光学知识，会先列出名字，再写下简介和使用方法，在解释里面再区介绍推导和原理，在示例里给出一点例题，在亦见给出相关的手册页。即这是一个自顶向下的讲解，先了解使用，在简要解释原理。请注意，这只是我整个活，学习物理还是应该了解清楚物理图像和每个概念是怎么来的。
下表显示了手册的章节号及其包含的手册页类型：
- 基础知识，包含几何光学、光波的复振幅表示和其它常用的工具。
- 干涉。
- 衍射。
一个页面包含多个小节。
小节名称通常包括 名称(NAME), 概述(SYNOPSIS), 描述(DESCRIPTION), 环境(ENVIRONMENT), 注(NOTES), 示例(EXAMPLE) 和亦见(SEE ALSO)。这个手册里的小节含义可能和系统手册中的不一致。
众所周知，Manual Pages 里面是没有图的，所以涉及到各种光路请跟随文字想象，我会尽可能用直观的文字说明代替数学推导，培养物理图像的想象。当然，实在没办法了还是会放张图的。
版本号遵循语义化版本规则。
EXAMPLE
man 2 等厚条纹
NAME
波函数的复数表示 - 用复数表示可以更方便地完成叠加等计算。
SYNOPSIS
设初相位 \(\varphi_0 = 0\)
平面波 \(\widetilde{U}(\mathbf r, t) = A e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r} \cdot e^{-i \omega t}\)
球面波 \(\widetilde{U}(\mathbf r, t) = \frac{a_1}{r} e^{i kr} \cdot e^{-i \omega t}\)
柱面波 \(\widetilde{U}(\mathbf r, t) = \frac{b_1}{\sqrt r} e^{i kr} \cdot e^{-i \omega t}\)
光强 \(I(P) = \widetilde{U}(P) \cdot \widetilde{U}^*(P) = A^2(P)\)，\(U^*\) 表示 \(U\) 的共轭。
波前函数：某一时刻某平面上的波分布。
DESCRIPTION
光波是电磁波，电场和磁场方向垂直且振幅相等，因此可以用其中一个来表示整个波。自然光是所有方向的波的叠加，由于不同方向分布大致均匀，可取一个方向来表示。由欧拉公式，\(e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)。取实部就对应了波函数中的 \(\cos\) 项，之前的系数对应了振幅。用复数表示的好处是，更方便进行各种计算。
NAME
和差化积 - 将两个三角函数的和化成积的形式
SYNOPSIS
\(\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}\)
\(\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}\)
DESCRIPTION
常用于描述波的叠加。
NAME
傍轴条件 - 光屏上观察的范围相比于光源到光屏的距离很小
SYNOPSIS
\(z^2 \gg \rho^2 \Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = z + \frac{x^2 + y^2}{2z}\)
DESCRIPTION
可以直接泰勒展开得出。可以记一个基本的泰勒展开的公式 \(\sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2}\) 得出。
2
NAME
双光束干涉 - 两列波叠加
SYNOPSIS
非相干叠加 \(I(P) = I_1(P) + I_2(P)\) 相干叠加 \(I(P) = I_1(P) + I_2(P) + \Delta I(P)\)
相干叠加条件 1. 方向不正交 2. 频率相同 3. 相位差稳定。
双光束干涉强度公式
\(I(P) = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1I_2}\cos \delta(P)\)
\(I(P) = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\delta(P)\)
DESCRIPTION
相干条件 1 是显然的，因为如两列波的方向垂直，那么 \(U^2(t) = U_1^2(t) + U_2^2(t)\)，这也正是说两列波的强度相加就是新波的想去读。
现在来分析同一方向两列波的叠加。\(\langle I(P)\rangle = \langle (U_1 + U_2)^2\rangle = \langle (U_1^2 + U_2^2 + 2U_1U_2\rangle = \langle U_1^2\rangle + \langle U_2^2 \rangle + \langle 2U_1U_2\rangle\) 其中 \(2U_1U_2 = 2A_1A_2\cos(\omega_1 t - \varphi_1)\cos(\omega_2t - \varphi_2) = A_1A_2\cos((\omega_1 + \omega_2)t - (\varphi_1 + \varphi_2)) + A_1A_2\cos((\omega_1 - \omega_2)t - (\varphi_1 - \varphi_2))\) 第一项随时间的平均值为 \(0\)，第二项在 \(\omega_1 - \omega_2\) 不为 \(0\) 的情况下随时间的平均值也为 \(0\)，故只有频率相同的时候才可以相干。
上式中的第二项 \(\cos\) 里面的东西即相位差，于是得到了 \(I(P) = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1I_2}\cos \delta(P)\)。
NOTE
这里的 \(\omega_1 - \omega_2\) 并不需要“完全相等”，在逐渐靠近零的时候，要时平均值为 \(0\) 的时间就越来越长，长到一定程度就可以感知出它不为 \(0\)，这是一个物理意义上的 \(\omega\) 差为 \(0\)。
SEE ALSO
NAME
衬比度 - 干涉条纹的清晰程度
SYNOPSIS
\(\gamma = \frac{I_M - I_m}{I_M + I_m}\)
双光束干涉场的衬比度 \(\gamma = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1 + I_2} = \frac{2\frac{A_1}{A_2}}{1 + \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2}\)
\(I(P) = I_0(1 + \gamma\cos \delta(P))\)
DESCRIPTION
衬比度的定义是普遍的，即最大光强和最小光强差与和的比值，不限于双光束干涉。这里我们考虑同一振动方向的两列波的衬比度。
由于 \(\cos\) 的最小值和最大分别为 \(-1\) 和 \(1\)，容易得出概述里的衬比度公式。可以看出，相干的两束光振幅越接近，衬比度越大，最大为 \(1\) 最小为 \(0\)。其中衬比度为 \(0\) 就是完全没有起伏了，即非相干叠加。
令 \(I_0 = I_1 + I_2\)，双光束干涉中的强度公式就变成了 \(I(P) = I_0(1 + \gamma\cos \delta(P))\)。
SEE ALSO
NAME
杨氏干涉 - 相干性好的光源透过双缝（两点源）形成的干涉
SYNOPSIS
点源到双缝距离 \(R\)，双缝到屏距离 \(D\)，双缝间距 \(d\)。
\(I(x, y) = I_0(1 + \cos k \frac{d}{D} x)\)
条纹间距 \(\Delta x = \frac{\lambda D}{d}\)
点源移动导致的条纹移动 \(\delta x = \frac{D}{R}x_0\)，其中 \(x_0\) 是点源移动。
ENVIRONMENT
在傍轴条件下推导。
DESCRIPTION
后面的推导可以发现，两个点和两条缝产生的干涉效果是一样的，缝透光更多，条纹更亮，所以一般用缝，这里分析两点源的情况。
设两点源位置为 \(Q_1(\frac{d}{2}, 0), Q_2(-\frac{d}{2}, 0)\)。
由傍轴近似，两点源到屏上一点 \(P(x, y)\) 距离为
\(r_1 = D + \frac{\left(x - \frac{d}{2}\right)^2 + y^2}{2D}, r_2 = D + \frac{\left(x + \frac{d}{2}\right)^2 + y^2}{2D}\)
\(r_2 - r_1 \approx \frac{xd}{D} \Rightarrow \delta(x, y) = k\frac{d}{D} x\) 其中 \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)
傍轴条件下，两束光夹角很小，在光源强度相等的条件下，可以认为 \(\gamma \approx 1\)，所以有 \(I(x, y) = I_0(1 + \cos k \frac{d}{D} x)\)。
令 \(\delta(k \frac{d}{D}x) = 2\pi\)，得 \(\Delta x = \frac{\lambda D}{d}\)。
至于移动，考虑中心的亮条纹的移动，两点源到它的光程差是 \(0\)，所以 \(R_1 - R_2 = -(r_1 - r_2)\)，即光源到两缝的距离差和目标点到两缝的距离差得抵消。由傍轴近似（和上面对 \(r_1, r_2\) 的分析一样），\(R_1 - R_2 = \frac{d\delta s}{R}, r_1 - r_2 = \frac{d\delta x}{D}\)，所以 \(\delta x = - \frac{D}{R} \delta s\)。这里我们只考虑了中心的亮条纹，但是对于满足傍轴条件的其它条纹来说也是一样的，都是要保持光程差不变，所以也是类似的，它们一起移动。
NOTE
由于一般光源是大量粒子每个发光一小段时间段时间构成的，每个粒子每次发光相位是随机的，并不具备良好的相干性。所以杨氏实验在钠光灯前面放了一个开小孔的厚纸。这样每个光源在小孔处的相位不同，但是到屏上的相位差就相同了，或者说，随着孔越来越小，趋近于相同。所以一般光源不能直接用于杨氏干涉的关键因素并不是相位随机，而是位置随机导致每个到双缝产生的相位差不同。
SEE ALSO
衬比度(2)，双光束干涉(2)，扩展光源的杨氏干涉(2)，平行光干涉场(2)
NAME
空间频率 - 条纹间距的倒数
SYNOPSIS
\(f = \frac{1}{\Delta x}\)
\(I(x, y) = I_0(1 + \gamma\cos(2\pi f x + \varphi_0))\)
DESCRIPTION
凡是有空间周期性的场合，都可以用空间频率来描述。
EXAMPLE
-
两束相干的平行光束，传播方向的相对于两光束的平分面(yz)的夹角分别为 \(\theta_1 = \frac{\pi}{6}, \theta_2 = \frac{\pi}{4}\)，光波长 \(633\operatorname{nm}\)，求空间频率。
即要求两束平行光的干涉场的条纹间距。在垂直 \(z\) 轴的面上波前函数为 \(\widetilde U_1(x, y) = A_1e^{i(k\sin\theta_2 x - \varphi_1)}, \widetilde U_2(x, y) = A_1e^{i(-k\sin\theta_1 x - \varphi_2)}\)，干涉强度分布 \(I(x, y) = I_0(1+\gamma\cos\delta(x, y))\)，所以纸要求 \(\delta(x, y)\)，即 \(k(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)\Delta x = 2\pi\)，所以 \(\Delta x = \frac{\lambda}{\sin\theta_1 + \sin\theta_2}\)，带入数据得 \(\Delta x \approx 0.53\operatorname{\mu m}, f \approx 1896 \operatorname{mm}^{-1}\)。
NAME
扩展光源的杨氏干涉 - 光源不为小孔，而有一定长度或大小时的杨氏干涉。
SYNOPSIS
线光源照明 \(I(x, y) = I_0\left(1 + \frac{\sin \pi f_0 b}{\pi f_0 b}\cos2\pi fx \right)\)
DESCRIPTION
凡是有空间周期性的场合，都可以用空间频率来描述。
EXAMPLE
-
两束相干的平行光束，传播方向的相对于两光束的平分面(yz)的夹角分别为 \(\theta_1 = \frac{\pi}{6}, \theta_2 = \frac{\pi}{4}\)，光波长 \(633\operatorname{nm}\)，求空间频率。
即要求两束平行光的干涉场的条纹间距。在垂直 \(z\) 轴的面上波前函数为 \(\widetilde U_1(x, y) = A_1e^{i(k\sin\theta_2 x - \varphi_1)}, \widetilde U_2(x, y) = A_1e^{i(-k\sin\theta_1 x - \varphi_2)}\)，干涉强度分布 \(I(x, y) = I_0(1+\gamma\cos\delta(x, y))\)，所以纸要求 \(\delta(x, y)\)，即 \(k(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)\Delta x = 2\pi\)，所以 \(\Delta x = \frac{\lambda}{\sin\theta_1 + \sin\theta_2}\)，带入数据得 \(\Delta x \approx 0.53\operatorname{\mu m}, f \approx 1896 \operatorname{mm}^{-1}\)。
NAME
光场的空间相干性 - 扩展光源发出的光在空间的哪个范围内衬比度不为 \(0\)
SYNOPSIS
\(b\Delta \theta_0 \approx \lambda\)
DESCRIPTION
在 光源宽度对杨氏干涉的影响(2) 中讲到光源宽度达到 \(b_0 \approx \frac{R}{d} \lambda\) 时干涉条纹衬比度降到 \(0\)。我们把光源上两点穿过空间某处双缝还能形成干涉条纹称为这两点在那里是相干的，即到了这双缝的两点两段光还是有点关系的。衬比度为 \(0\) 就是完全不相干。现在考虑在整个空间中哪些位置这相距为 \(b\) 的光源上两点还是相干的。把式子变个形 \(d = \frac{R\lambda}{b}\)，这指出了在距离为 \(R\) 的时候，双缝间距多大以内还是相干的，也就是说，双缝间距小于这个 \(d\) 看来都是相干的。\(\Delta \theta_0 = \frac{d}{R}\) 是这个相干的上限对光源宽度的“张角”，在这角内两点都有一定的相干性，把这个称为相干范围的孔径角。需要注意的是，这只说明相距一定距离在这个范围中的双缝看来，光源上两点是相干的，而不是必须双缝都在这个里面才相干。
SEE ALSO
NAME
等厚条纹 - 光照在厚度不均匀的薄膜表面形成的干涉条纹。
SYNOPSIS
\(\Delta L(P) \approx 2nh\cos i\)
实际使用最多正入射 \(\Delta L(P) \approx 2nh\)
劈形薄膜条纹间距 \(\Delta x = \frac{\lambda}{2\alpha}\)
牛顿环 \(r_k = \sqrt{kR\lambda}\), \(\lambda\) 是真空中波长。
实际上等厚线向交线方向突出。
光源极限角宽度 \(\Delta i_0 \approx \frac{\lambda}{2h \sin i}\)
\(n_2 = \sqrt{n_1 n_g}\) 时完全消反射。
ENVIRONMENT
适用范围：膜很薄，即发生干涉的两束光在光源发出时夹角很小，上下表面形成的角度也很小。
DESCRIPTION
一个点光源发出的光照到薄膜表面上，一部分会反射，一部分会进入薄膜，在下表面反射以后回到上表面，可以想象，表面上每一个点除了从光源直接照向这个点的光外还会和另一条从下表面反射回来的光叠加，发生干涉，这就是薄膜干涉中的等厚干涉。
设薄膜在一点的厚度为 \(h\)，薄膜折射率为 \(n\)，在下表面反射的光线与法线的夹角为 \(i\)，该光线在入射前与上表面法线的夹角为 \(i_1\)。膜外就当真空了。现在我们需要计算两条光线的光程差。首先，我们把显然可以抵消掉的给抵消掉，即把经过下底面反射的那条光线在没有进入薄膜的部分向直接射到干涉点的光束作一条垂线，由于夹角很小，可以认为从光源到垂足的那段光线被抵消了。现在光程差只剩下膜内的两段与上面剩下的那段的差。膜内两段很好做，即 \(\frac{2nh}{\cos i}\)。膜上面那段就是两条光线与膜上表面的相遇的位置间的距离再乘上一个 \(\sin i_1\)。折射定律 \(\sin i_1 = n\sin i\)，所以上面那段光程就是 \(2h\tan i \times n \sin i\) 两段减一减就得到 \(2nh\cos i\)。正入射就是 \(i = 0\)。
现在看劈形膜，两条亮条纹之间的光程差即波长（光程差是真空波长，走过的路程差是介质中的波长），那么厚度相差 \(\frac{\lambda}{2}\)（这里是介质中的波长），膜很薄，夹角 \(\alpha = \sin \alpha\)，\(\Delta x = \frac{\lambda}{2\alpha}\)。然而离光源正下方偏离一些就不是正入射的情况了，哪个波程差由于乘了个 \(\cos\) 就没有那么大，所以厚度要变大点以补齐，故突起方向是上下底面交线，两边会往远离交线的偏。同样，条纹间距也不是完全一致的。
现在，让我们来考虑牛顿环。把一个玻璃球切下薄薄一层，放在平面上，真空层形成了薄膜，干涉形成的同心圆环就是牛顿环。设第 \(k\) 级的条纹所在的空气层高度为 \(h_k\)，距离圆心距离为 \(r_k\)，这个球的半径为 \(R\)。不难想象那个直角三角形有 \(r_k^2 = R^2 - (R - h_k)^2 = 2Rh_k - h_k^2\)，由于我们的膜很薄，就把右边一项给忽略了，变成 \(r_k^2 = 2Rh_k\)，这个 \(2h_k\) 就是 \(k\lambda\)（真空中波长），所以得到 \(r_k = \sqrt{kR\lambda}\)。
光源极限宽度即要让光源两端的点在同一个位置形成的光程差之差达到 \(\lambda\)，由于 \(\lambda\) 和光程差之差很小，可以直接求微分来估计光程差之差 \(\delta(\Delta L) = \delta(2nh \cos i) = -2nh \sin i \delta i\)，令 \(\delta(\Delta L) = \lambda\), \(\Delta i_0 \approx \frac{\lambda}{2h \sin i}\)。
SEE ALSO
半波损失(1)，光波表示(1)，光源宽度对杨氏干涉的影响(2)
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