Trick&Math
把感觉有用的好东西都搬过来了。
排列组合：
有 \(n\) 种颜色的球，第 \(i\) 种有 \(a_{i}\) 个，把这些球排成一排，有几种方法？(可重排序)
先把这些数（假设共 \(s\) 个）随便排，有 \(s!\) 种方案，然后因为顺序无关，所以需要除以排列数。
圆排列：\((n-1)!\)
错排问题：
二项式定理
容斥原理
卢卡斯定理
卡特兰数
假设一张门票 \(5\) 元，售票房没有额外的零钱。现在有 \(m\) 个人持有 \(5\) 元的纸币，\(n\) 个人持有 \(10\) 元的纸币排队买票，问有多少种排队方式，可以让每个人都买到电影票。
重新推导卡特兰数。
答案：\(H_{n} \times m! \times n!\)
数学杂项
\(a-b \le a \oplus b \le a+b\)
\(a \bmod b=a\bmod (-b)\)
\(a+b=a\oplus b+2 \cdot (a\) & \(b)\)
\(a \oplus b\) 和 \(a+b\) 具有相同的奇偶性。
\(n\) 在 \(k\) 进制下的位数为 \(\left \lfloor \log_{k}{n} \right\rfloor+1\)。
令 \(A_{i,j}\) 表示一个图的连通性，则：
表示恰好经过 \(w\) 条边 \(i\longrightarrow j\) 的方案数。
差分数组的 \(\gcd\) 等于原数组的 \(\gcd\)（默认差分数组第零项为 \(0\)）。
斐波那契数列模 \(10,100,1000,10000,100000...\) 的值依次为 \(60,300,1500,15000,150000...\) 后面依次乘 \(10\)。
\(Fib_{n+m+1}=Fib_{n}Fib_{m}+Fib_{n+1}Fib_{m+1}\)。
皮亚诺周期：斐波那契数列模 \(k\) 意义下的的最小正周期，这个周期长度不超过 \(6k\)，且等号只在 \(k=2 \times 5^{p} (p \in N^{*})\) 取得。
转载收集的
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点边容斥。连通块计数时，将每个点的贡献，减去每条边的贡献，就能恰好计算一次。一个简单的例子是，森林连通块的数量等于点数减边数。
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\(f_{i,j}=\max k\Rightarrow f_{i,k}=\min j\)
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记 \(F_{i}\) 表示斐波那契数列的第 \(i\) 项，有 \(F_{\gcd(a_{1},a_{2},...,a_{n})}=\gcd(F_{a_{1}},F_{a_{2}},...,F_{a_{n}})\)。
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差分约束乘法的话两边取对数可以转换为加法。
数据结构
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树状数组上二分：当前位置\(pos\)满足\(2^b|pos\)，枚举下一段长度\(2^j\)，其中\(j<b\)，节点\(pos+2^j\)上存的值为\([pos+1,pos+2^j]\)中的贡献，如果当前值加上区间中的值满足条件，就跳到\(pos+2^j\)上继续枚举 P6619 [省选联考 2020 A/B 卷] 冰火战士
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01trie整体+1：对于每个节点，交换01儿子，递归到原来的1儿子节点+1P6623 [省选联考 2020 A 卷] 树
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单点修改，区间求和：有时修改和查询次数并不相同，可以进行平衡
- \(O(\log n)\)修改，\(O(\log n)\)查询：树状数组
- \(O(1)\)修改，\(O(\sqrt n)\)查询：分块，修改时只修改点值和块内和。查询时整块直接查块内值，散块暴力查询每个值
- \(O(\sqrt n)\)修改，\(O(1)\)查询：分块，修改时维护块内前缀和，块间前缀和。查询整块用块间前缀和算，散块用块内前缀和算
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并查集：01序列上，可以把0修改成1，询问某个位置前的第一个0
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长度为\(n\)的序列，有\(m\)次区间染色操作，求最后序列的状态
倒序枚举每个操作，用并查集维护每个位置下一个没染的地方，暴力把区间内所有没颜色的地方染色，均摊复杂度为\(O(n\operatorname\alpha(n))\)
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动态开点平衡树：每个节点维护一个区间，等到分裂的时候再新建节点 链接 P7739 [NOI2021] 密码箱
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楼房重建，用线段树维护区间单调栈，线段树update的时候线段树二分找右儿子\(\geq\)左边最大值的单调栈，复杂度\(O(n\log^2n)\) 从《楼房重建》出发浅谈一类使用线段树维护前缀最大值的算法——小粉兔 P4198 楼房重建，U237227 带修区间单调栈长度（楼房重建加强）
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二进制分组：对于某些需要\(O(n)\)预处理，且不支持插入的数据结构（如AC自动机），可以用二进制分组实现均摊\(O(\log n)\)动态插入
新插入一个元素时，把它自己归为一组，每次判断左边的组大小是否和我一样，如果一样就合并，否则退出
\[\{8,2,1\}\to\{8,2,1,1\}\to\{8,2,2\}\to\{8,4\} \]每个元素只会被重构\(\log n\)次，插入均摊复杂度\(O(\log n)\)
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线段树维护历史和：转化成\(kx+b\) P8868 [NOIP2022] 比赛
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序列区间询问考虑能否线段树维护
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cdq分治实质：可以快速（如\(O(n\log n)\)）统计一个矩形内的贡献，需要统计一个直角三角形，将三角形拆成\(O(\log n)\)层矩形，每层矩形边长和为\(O(n)\)
- 条状cdq：先将条分成若干个直角三角形，再做cdq
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set-beats：线段树区间取min，区间加，查询区间和，查询区间最大值
维护区间的最大值，严格次大值，最大值个数，区间和
tag就是加法，最大值对\(x\)取min
修改时，如果取min的值要大于次大值，直接改，否则往下递归
不带区间加：\(O(n\log n)\)，带区间加：\(O(n\log^2n)\)常数极小
贪心
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相邻交换法
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将取min或取max的不等式转换为逻辑表达式，例如：
\[\max\{A,B\}\leq C\Leftrightarrow A\leq C \&\&B\leq C \] -
可反悔贪心，把反悔选项扔到决策集合里 P1484 种树，P2209 [USACO13OPEN]Fuel Economy S
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当限制为“到某时刻截止”时，可以考虑时光倒流，让限制变为“从某时刻开始”P1954 [NOI2010] 航空管制，P3826 [NOI2017] 蔬菜
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超级钢琴：若干种决策，有依赖关系，且每种决策的收益小于其所依赖的前置决策
每次选择在所有当前可选的决策选一个收益最大的（用优先队列维护），将新的可选决策放入优先队列
P2048 [NOI2010] 超级钢琴，P1315 [NOIP2011 提高组] 观光公交，BZOJ3784 树上的路径
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合并果子：决策之间满足某种单调性，用队列维护 P1090 [NOIP2004 提高组] 合并果子，P2827 [NOIP2016 提高组] 蚯蚓，
组合
- 范德蒙德恒等式运用\(\sum\limits_{i=0}^n\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-k\\i\end{pmatrix}=\sum\limits_{i=0}^k\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-k\\n-k-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}\) U183887 山区建小学期望版
容斥
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本质
\(\pi\)为\(a\)所有可能取值的集合，\(p_i\)为\(a_i\)所有可以取的值的集合，\(U=\{x\in\mathbb{Z}|1\leq x\leq n\}\)
\[\begin{aligned} \sum\limits_{a\in\pi}\prod\limits_{1\leq i\leq n}[a_i\in p_i]&=\sum\limits_{a\in\pi}\prod\limits_{1\leq i\leq n}(1-[a_i\in p_i])\\ &=\sum\limits_{a\in\pi}\sum\limits_{S\subseteq U}\prod\limits_{i\in S}[a_i\notin p_i](-1)^{|S|}\\ &=\sum\limits_{S\subseteq U}(-1)^{|S|}\sum\limits_{a\in\pi}\prod\limits_{i\in S}[a_i\notin p_i] \end{aligned} \] -
min-max容斥
\[\max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T) \]- 证明：
\[\begin{aligned} \max(S)&=\sum_{i\in S}a_i\prod_{j\in S,j\neq a_i}[a_i>a_j]\\ &=\sum_{i\in S}a_i\prod_{j\in S,j\neq a_i}(1-[a_i\leq a_j])\\ &=\sum_{i\in S}a_i\sum_{T\subseteq S,i\in T}(-1)^{|T|+1}\prod_{j\in T}[a_i\leq a_j]\\ &=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\sum_{i\in T}a_i\prod_{j\in T}[a_i\leq a_j]\\ &=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T) \end{aligned}\]- 期望线性性：
\[E(\max(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min(T)) \] -
选一个排列=1~n每个数都选=没有不选的数（虽然是废话，但是做容斥的时候可能有用）
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\(m\)个相同的球放进\(n\)个不同的盒子，但是每个盒子有上限：容斥，枚举一个集合超过上限
概率
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若对于每个状态，有一个合法转移集合\(S_1\)，每次随机选取合法转移集合中的一个状态转移
对每个状态构造另一个集合\(S_2\)满足\(S_1\subseteq S_2\)，上述操作等价于每次从\(S_2\)中随机选取一个元素，若不合法再重选（重选时可以指定新的集合\(S_3\)满足\(S_1\subseteq S_3\)）
- 用六面骰子造出\(1/5\)的概率——每次骰到一个数，如果是1~5的数就直接取，如果是6就再骰一遍
- [ARC114E] Paper Cutting 2 随机一个操作排列，若切到外面就跳过，若切到矩形就停止，每条线的贡献为它排在所有令它不合法的线前面的概率
- P5644 [PKUWC2018]猎人杀 死了不能再杀\(\to\)死了还能继续杀
- [USACO21DEC]T3 反着来，随机一个排列，若不合法则跳过\(\to\)每次在合法区间里随机选一个
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搞清楚是事先做出所有决策还是决策可以动态调整
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期望线性性：对于任意两变量\(X,Y\)（不要求独立），有\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
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期望状态倒着设，因为不知道从各入边到达的概率，但知道从各出边出发的概率
排列
- 每个排列都是由若干个置换环组成的
- 考虑dp第i个位置有多少向后的箭头
- DP的时候考虑从小往大或从大往小插入每个元素 P2401 不等数列
- DP记录当前的值在剩下可取数中的排名 P2467 [SDOI2010]地精部落
序列DP
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单调栈、单调队列、斜率优化、决策单调性，总之各种单调都要注意利用
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如果将序列分成2部分，\(f_{i,0/1}\)表示决策完前\(i\)个，且第\(i\)个分到了\(0/1\)类，且\(i\)是当前一段的结尾，\(i+1\)和\(i\)不一样，这样枚举上一个点的时候就方便判断是否合法CF1144G Two Merged Sequences，AT2292 [AGC009C] Division into Two
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\(f_i=\min\{\max(g(j),w(j,i))\}\)，\(w(j,i)\)随\(j\)单调递增，随\(i\)单调递增
显然转移点应该在\(g\)的单调栈上，每次转移点只用找\(g\)的单调栈和\(w\)两函数相交的点，用一个指针维护转移点[蓝桥杯2021A]分果果 P1973 [NOI2011] NOI 嘉年华
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括号序列区间DP：枚举\(l\)左括号所匹配的右括号 P7914 [CSP-S 2021] 括号序列
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一个一个消数：考虑一个区间最后一个消掉的数 U188373 比赛
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区间消消乐 \(f_{val,l,r}\)表示目前正在消\([l,r]\)，且\(l\)前面还跟着一段（包含\(l\)），其权值为\(val\)，转移就是消掉\(l\)前面这一段或者枚举下一个和\(l\)一起消的元素
\[f_{val,l,r}=\max\left\{f_{w[l+1],l+1,r}+val,\max\limits_{l<k\leq r}\left\{f_{merge(val,w[k]),k,r}+f_{w[l+1],l+1,k-1}\right\}\right\} \] -
区间最值可以考虑笛卡尔树，区间最值就是两端点在笛卡尔树上的LCA，转化为树上问题CF1580D Subsequence
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如果dp数组值域特别小，可以考虑把dp值计入状态，把原来的状态变成新的dp值 CF1342F Make It Ascending
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延迟决策，遍历到某个点的时候，可以把它先晾着，到后面再决策
状压DP
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\(3^n\)枚举子集（问保安）
for (int s = 0; s < (1 << n); s++){ for (int s1 = s; ; s1 = (s1 - 1) & s){ //... if (!s1) break; } } -
\(f_{s1,s2}\)表示上一个数前\(n/2\)位为\(s1\)，这一个数后\(n/2\)位为\(s2\)时的贡献 P3773 [CTSC2017]吉夫特，[CSP-S2020初赛] 第 20 题
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状压DP多记录一些中间状态帮助转移
- P3921 小学数学题 多记录一维\(j\)表示当前集合前\(j\)位已经决策完成
- U86022 瘟疫公司（plague） 记录当前的集合的大小就行，剩下一维记录可以转移的集合
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强连通分量容斥：统计不合法的情况，枚举当前点集中拓扑序最小的强连通分量，这个强联通分量向点集中其他点都连出边 CF1556F Sports Betting
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无向连通图容斥：枚举集合中某个特定点所在的连通块
令\(f_{S,i}\)为在集合\(S\)的生成子图中选\(i\)条边联通的方案数
\[\forall u\in S, f_{S,i}=\begin{pmatrix}cnt(S)\\i\end{pmatrix}-\sum\limits_{u\in T,T\subsetneq S}\sum\limits_{j\leq i}f_{T,j}\begin{pmatrix}cnt(S-T)\\i-j\end{pmatrix} \]
树
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转移\(f'_u=\operatorname{merge}(f_u,f_v)\)
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子树DP\(f\)，裤衩DP\(g\)
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子树合并：若每个节点\(u\)合并子树\(v\)时的复杂度为\(O(sz_u\cdot sz_v)\)，则总复杂度为\(O(n^2)\)
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虚树上边权和：所有点按照dfn排序，相邻两个点的路径和再加上第一个点和最后一个点的路径和 P5840 [COCI2015]Divljak
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入栈序（\(dfn\)）、出栈序（\(T\)）
- \(v\)在\(u\)子树中：\(dfn_u\leq dfn_v\leq dfn_u+sz_u-1\)
- \(v\)在\(u\)至根的路径中：\(dfn_u\leq dfn_w\)且\(T_u\geq T_w\) P2305 [NOI2014] 购票
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直径：从任意一点开始DFS，找到距离最远的点即为直径的一个端点，再从这个端点DFS找到距离最远的点，就是直径的另一个端点
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多想一想这张图，每棵子树的深度都小于顶点和直径端点的距离P2491 [SDOI2011]消防
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树的重心\(\Leftrightarrow\)所有子树大小小于一半\(\Leftrightarrow\)和所有点的距离和最小
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一棵树的重心在这棵树以任意点为根的重链上 P5666 [CSP-S2019] 树的重心
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修改一个点（路径）附近点的权值：父亲和重儿子暴力改，其他儿子打tag，查询时直接看链顶父亲的tag CF487E Tourists P7735 [NOI2021] 轻重边
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\(V-E\)容斥，统计所有点的贡献，再减去所有边的贡献，就是所有连通块的贡献
对于树上一个联通子图\(S\)，有\([S\neq\phi]=\sum\limits_{v\in S}1-\sum\limits_{e\in S}1\)
- P5291 [十二省联考 2019] 希望 令连通块\(S\)内满足条件的点所构成的子图为\(T(S)\)，答案可表示为
\[ \begin{aligned} ans&=\sum_{S_1,S_2,\cdots,S_k}[T(S_1\cap S_2\cap\cdots\cap S_k)\neq\phi]\\ &=\sum_{S_1,S_2,\cdots,S_k}(\sum_{v\in T(S)}1-\sum_{e\in T(S)}1)\quad S=S_1\cap S_2\cap\cdots\cap S_k\\ &=\sum_v f(v)^k-\sum_e g(e)^k\quad f(v)=\sum_{v\in T(S)} 1,g(e)=\sum_{e\in T(S)} 1 \end{aligned}\]\[\begin{aligned} ans_i&=\sum_{c_1,c_2,\cdots,c_i}[T\neq\phi]\quad T=\bigcap_{j=1}^iS_{c_j}\\ &=\sum_{c_1,c_2,\cdots,c_i}(\sum_{v\in T}1-\sum_{e\in T}1)\\ &=\sum_v\begin{pmatrix}f(v)\\i\end{pmatrix}-\sum_e\begin{pmatrix}g(e)\\i\end{pmatrix}\quad f(v)=\sum_j[v\in S_j],g(e)=\sum_j[e\in S_j]\end{aligned}\] -
点分树优化DP：用点分树将\(dis(u,v)\)拆成\(dep[u]+dep[v]\) [牛客挑战赛54] F-小葱的树
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点分治接单调队列，按照分治中心每个子树的高度排序，这样单调队列预处理复杂度就一定小于当前子树大小 P4292 [WC2010]重建计划
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对于树上边集的一个子集，\(u\)和\(v\)在一个连通块中等价于\(v\)和最靠上能到达\(u\)的点分治中心在同一连通块
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关于\(dep(LCA(u,v))\)：可以考虑修改\(u\)到祖先的链，查询\(v\)到祖先的链 P5305 [GXOI/GZOI2019]旧词，P4211 [LNOI2014]LCA
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树上两路径是否点相交：若点相交，其中一条路径的LCA一定在另一条路径上
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树上两路径是否边相交：
如图，若\(dis(u_1,u_2)+dis(v_1,v_2)=dis(u_1,v_2)+dis(v_1,u_2)\)则无边相交否则边相交，且交出的链长度为\(\frac 12|dis(u_1,u_2)+dis(v_1,v_2)-dis(u_1,v_2)-dis(v_1,u_2)|\)
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树上两点集交的直径\(d(S_1\cup S_2)\subseteq d(S_1)\cup d(S_2)\)其中\(d(S)\)表示点集\(S\)直径的两端点，两个点集交的直径两端点一定是原两集合的端点\(\binom{4}{2}\)种组合其中之一
P4775 [NOI2018] 情报中心 -
dfs序背包：在dfs到\(u\)时，\(f_v\)表示只考虑dfs序上在\(u\)前的点时\(v\)子树对应的dp值 T261510 和谐社会（harmony）
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树上相邻交换： AT3957 [AGC023F] 01 on Tree
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“连通块大小乘积之和”：两个dp数组\(f,g\) 博物馆记忆之树（memory）
- \(f_u\)代表在\(u\)子树内所有联通块大小乘积之和
- \(g_u\)代表在\(u\)子树内不包括\(u\)所在联通块的所有联通块大小乘积之和
- 递推
- 相连：\(f'_u=f_u\cdot g_v+f_v\cdot g_u\)，\(g'_u=g_u\cdot g_v\)
- 不相连：\(f'_u=f_u\cdot f_v\)，\(g'_u=g_u\cdot f_v\)
- 如图\(A(x+y)B=(Ax)B+A(yB)\)
图论
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有向图的边可以分类成：树边、前向边、返祖边、横叉边
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无向图的边可以分类成：树边、前向边（返祖边）
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一个点到其他点的所有最短路径组成一个DAG
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差分约束：如果同时存在\(x_i+x_j\leq d\)和\(x_i-x_j\leq d\)两种限制，将所有\(x\)按照\(x_i+x_j\leq d\)的边黑白染色，若染黑则差分约束时记录其负值，染白则记录正值 P7515 [省选联考 2021 A 卷] 矩阵游戏
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线段树优化建图、倍增优化建图、ST表优化建图、前缀和优化建图：字面意思 CF786B Legacy
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\(O(n^2)\)支配树：
- 枚举每个点，从根节点不经过这个点DFS，求出这个点支配的点集
- 类似拓扑排序，每一轮选择一个点当且仅当所有支配它的点已经遍历过了
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圆方树：无向图，有诸如删点后是否可达的叙述，可以考虑在圆方树上搞
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两点在圆方树路径上的圆点是这两个点在原图中路径的必经点 P5058 [ZJOI2004]嗅探器 P4082 [USACO17DEC]Push a Box P
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两点在圆方树路径上所有方点的相邻点是这两点所有简单路径可能经过的点 P4630 [APIO2018] Duathlon 铁人两项
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矩阵树定理可以求
\[\sum_{T\text{是生成树}}\prod_{e\in T}w_e \]一般取\(w_i=1\)，必要时可以令\(w\)为一个多项式
令\(w=ax+b\)，乘法为\(\bmod x^2\)意义下的乘法，可以求出所有生成树的权值和 P6624 [省选联考 2020 A 卷] 作业题
计数
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容斥
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第一次到达状态\(S\)的方案：到达\(S\)的方案减去之前到过但又回来的方案数 U105245 随机游走3 P8208 [THUPC2022 初赛] 骰子旅行
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本质不同子序列个数：\(f_i=2f_{i-1}-f_{pre[i]-1}\)，其中\(f_i\)表示前\(i\)个元素的不同子序列个数
钦定相同的子序列选取最后一个计数，每次决定第\(i\)个选不选，并且排除上一个选了和\(i\)同色的元素却没选\(i\)的情况，因为这样就会使统计的子序列不是最后一个，因为\(f_{i-1}\)满足所统计的子序列在前\(i-1\)中是最后一个，所以只可能是选了\(pre[i]\)没选\(i\)
选\(i\)的方案数：\(f_{i-1}\)，不选\(i\)的方案数：\(f_{i-1}-f_{pre[i]-1}\)
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不同维度间相互独立（但是可能没有完全独立） P5289[十二省联考 2019]皮配
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统计贡献的思想非常重要，考虑每个元素对答案所做出的贡献
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如果要计数若干个相似问题的和，且问题可以用若干线性变换解决，可以考虑将初始向量直接相加，再做一遍原问题 CF1810G The Maximum Prefix P3352 [ZJOI2016]线段树
\(\sum_i(\vec{v_i}\times A)=(\sum_i\vec{v_i})\times A\)
字符串
- 一个长\(n\)的字符串的所有border可以分成\(\log n\)个等差数列
矩阵乘法
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不满足交换律，注意乘法顺序
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广义矩阵乘法需要满足的条件
定义广义矩乘为
\[(A\times B)_{i,j}=\bigoplus\limits_{k=1}^{m}A_{i,k}\otimes B_{k,j} \]则其结合律、分配率依赖于
\[\begin{cases} (a\oplus b)\otimes c=a\otimes c\oplus b\otimes c\\ a\otimes(b\oplus c)=a\otimes b\oplus a\otimes c\\ a\oplus b=b\oplus a\\ (a\oplus b)\oplus c=a\oplus(b\oplus c) \end{cases} \]也就是\(\otimes\)和\(\oplus\)之间的分配率、\(\oplus\)的交换律和结合律
常见广义矩乘
- \(a\oplus b=\min(a,b),a\otimes b=a+b\) P2886 [USACO07NOV]Cow Relays G
- \(a\oplus b=a\operatorname{xor}b,a\otimes b=a\operatorname{and} b\) P6569 [NOI Online #3 提高组] 魔法值
- \((a\oplus b)_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j},(a\otimes b)_{i,j}=\sum_{k=1}^ma_{i,k}\cdot b_{k,j}\)（矩阵每个元素都是一个子矩阵）P6772 [NOI2020] 美食家 P5319 [BJOI2019]奥术神杖
动态DP（DDP）
- 将DP的式子改成一个向量乘上一堆矩阵的形式，用数据结构维护 CF1609E William The Oblivious
- 树上DDP：\(\vec{f}(u)=\vec{f}(hs(u))\times F_u\)，其中\(F_u\)只与\(u\)的所有轻儿子有关 P4719 【模板】"动态 DP"&动态树分治
根号
- 根号分治
- 对于\(q\)个二元询问\((u,v)\)，若满足\((u,v)\)的答案等于\((v,u)\)的答案，对于每个\(u\)，可以经过\(f(u)\)时间预处理后以\(g(v)\)时间回答询问\((u,v)\)，则可以在\(O(\sqrt q\sum_ig(i)+\sum_if(i))\)时间回答所有询问 共同好友乱搞解法
网络流
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限制点的流量：拆点，两点间连边的限制为点流量限制
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DAG最小路径覆盖：拆点，每个点的流量下限为1，跑有上下界最小流
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有若干形如\(a[b_1]+a[b_2]+\cdots+a[b_k]\in[L_i,R_i]\)的限制，限制可分为两组，每个\(a[i]\)在同一组中只出现一次，且每个\(a[i]\)取值范围在\([l_i,r_i]\)
- 每个\(a[i]\)建两个点，中间的边按照它的取值范围设定上下界
- 对于第一组中的限制，建点，从源点到这个点连一条\([L_i,R_i]\)的边，从这个点向所有受限制的点连一条容量无限的边
- 对于第二组中的限制，建点，从这个点到汇点连一条\([L_i,R_i]\)的边，从每个受限制的点连到这个点一条容量无限的边
- P4486 [BJWC2018]Kakuro
-
二分图相关：
- 最小点覆盖=最大匹配（最小割）
- 最小边覆盖=N-最大匹配（除了匹配，每条边覆盖一个点）
- 最大独立集=N-最大匹配（除了最小点覆盖的点）
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最大权闭合子图：有\(n\)个点，有\(m\)个限制\((u,v)\)表示取点\(u\)就一定要取点\(v\)，每个点有一个权值\(w_i\)（可正可负），求一个满足限制的选点方案使选点权值和最大
- 对每个限制\((u,v)\)，连一条\((u,v,\infin)\)的边，对每个\(w_i\geq 0\)的点，先给答案加上\(w_i\)，再连边\((S,i,w_i)\)，若\(w_i<0\)，则连边\((i,T,|w_i|)\)，最后答案减去最大流
- 证明（感性）：最小割
- CF1146G Zoning Restrictions
- 正权点同时连向若干个点等价于这些点全选时权值增加
- 对于两个点，通过上述方法拼上改变两点本身的权值，可以实现：
u\v 0 1 0 + - 1 - + - P8215 [THUPC2022 初赛] 分组作业
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切糕模型
- upd：切糕模型可以转化为最大权闭合子图
- \((u,v)\to(u,v-1)\)
- 限制\(x\ge y+k\)：\((y,i)\to (x,i+k)\)
- 钦定选\((u,1)\)：\(S\to (u,1)\)（dfs删点常数会更优一些）
- \(w'(u,v)=w(u,v)-w(u,v-1)\)
- 以下是经典做法：
（盗题解图）- 对于每个变量，每种取值都开一个点
- 连边：
- \(S\to (x,1),flow=\infin\)
- \((x,lim+1)\to T,flow=\infin\)
- \((x,i)\to (x,i+1),flow=weight(x,i)\)
- \((x,i+1)\to (x,i),flow=\infin\)
- \(\forall u\geq v+k,(v,i)\to (u,i+k),flow=\infin\)
- 做最小割，显然每个变量\(S\)只可达一个前缀，只割一条边，若割\((x,i)\to(x,i+1)\)，则代表\(x\)取值为\(i\)
- P3227 [HNOI2013]切糕
- upd：切糕模型可以转化为最大权闭合子图
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平面图最小割转最短路：（如果原图是有向图，对偶图中的边只能全是从原图一条边的左边到右边或全是从右边到左边）P4001 [ICPC-Beijing 2006]狼抓兔子
其他
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所求答案数组单调且值域不大，二分每一个相同段的长度
- CF1039D You Are Given a Tree 可以\(O(n)\)求出一个答案，根号分治，长度大于\(B\)的答案不超过\(n/B\)，二分每一段的长度，取\(B=\sqrt{n\log n}\)，总复杂度为\(O(n\sqrt{n\log n})\)
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\(x=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\cdots\times p_k^{a_k}\)，可以将每个质因子视作一维，将\(x\)视作一个高维的点，坐标为\((a_1,a_2,\cdots,a_k)\) U184638 仪式感 (sor)，P8255 [NOI Online 2022 入门组] 数学游戏
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高维前缀和：枚举每一维，做这一维的前缀和
可以处理子集权值和，约数权值和
二维的例子：
for (int i = 1; i <= n; i++){ for (int j = 1; j <= m; j++){ a[i][j] += a[i - 1][j]; } } for (int i = 1; i <= n; i++){ for (int j = 1; j <= m; j++){ a[i][j] += a[i][j - 1]; } } -
\(a[1...n]\)中\(a_i\|a_j\)最大值：对每个\(a_i\)，取其补集\(U-a_i\)，从大到小枚举补集的每一位，如果有元素为当前已选集合的超集的话就选
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