模板集
考虑到作为一名 Oier 有很多需要掌握的模板，所以整合了一下以前的专栏，就变成现在这样了！
有问题请加 qq 3848603482。可以帮你讲解。
给萌新的代码建议
尽量不要写全局变量，容易弄混不方便调试，要用了再创建。没有必要手写栈之类的，STL要了解多一点。不要写#define int long long，大忌。
（当然我有一些远古模版没有遵循以上基本原则，之后会改，请谅解）。
建图
链式前向星。
坏处是容易 MLE，好处是可以按边操作。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int M=5e5+10;
int n,m,u,v,w;
int cnt,h[N],d[N];
struct node{
int nxt,to,dis;
}e[M];
void add(int u,int v,int w){
e[++cnt].nxt=h[u];
e[cnt].to=v;
e[cnt].dis=w;
h[u]=cnt;
}
int main(){
cin>>n>>m;
while(m--){
cin>>u>>v>>w;
add(u,v,w);
add(v,u,w);
}
return 0;
}
vector。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=5e5+10;
int n,m,u,v,w;
vector<pair<int,int> >G[M];
#define mp make_pair
int main(){
cin>>n>>m;
while(m--){
cin>>u>>v>>w;
G[u].push_back(mp(v,w));
G[v].push_back(mp(u,w));
}
return 0;
}
邻接矩阵。
空间复杂度高，节点数量不能太多。
Spfa
bool spfa(int s){
memset(d,0x3f,sizeof(d));
memset(vis,0,sizeof(vis));
d[s]=0;
q.push(s);
vis[s]=1;
cnt[s]++;
while(!q.empty()){
int u=q.front();
q.pop();
vis[u]=0;
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i].first;
int w=G[u][i].second;
if(d[v]>d[u]+w){
d[v]=d[u]+w;
if(!vis[v]){
q.push(v);
vis[v]=1;
cnt[v]++;
if(cnt[v]>n)return 0;
}
}
}
}
return 1;
}
矩阵乘法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k;
int a[110][110];
int b[110][110];
int c[110][110];
int main(){
cin>>n>>m>>k;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
cin>>a[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=1;j<=k;j++){
cin>>b[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=k;j++){
for(int s=1;s<=m;s++){
c[i][j]+=a[i][s]*b[s][j];
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=k;j++){
cout<<c[i][j]<<" ";
}
cout<<"\n";
}
return 0;
}
Floyd
时间复杂度 \(O(n^3)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//建变量
int main(){
//输入
//邻接矩阵初始化
memset(g,0x3f,sizeof(g));
//建图
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);
}
}
}
//g[a][b]为无穷大则两点不联通，否则表示a->b的最小值
return 0;
}
拓扑排序
这个是用邻接表写的形式，当然也可以用数组。
拓扑排序思路：
- 计算每个点的入度，用数组 in 存下来。
- 入度为 \(0\) 就推入队。
- 循环，当队列不空。
- 输出队首，弹出这个点并遍历它的连边。把连向的每个节点入度减 \(1\)。
- 如果哪个节点入度减 \(1\) 后等于 \(0\) 就再次入队。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>G[5010];
queue<int>q;
int n,son,in[5010];
void toposort(){
for(int i=1;i<=n;i++){
if(in[i]==0){
cout<<i<<" ";
q.push(i);
}
}
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<G[x].size();i++){
int to=G[x][i];
in[to]--;
if(in[to]==0){
cout<<to<<" ";
q.push(to);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(cin>>son&&son!=0){
G[i].push_back(son);
in[son]++;
}
}
toposort();
return 0;
}
LCA
倍增。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m,s;
int x,y,a,b;
const int N=5e5+10;
vector<int>G[N];
int anc[N][25];
void init(){
for(int j=1;j<=20;j++){
for(int i=1;i<=n;i++){
anc[i][j]=anc[anc[i][j-1]][j-1];
}
}
}
int d[N];
void dfs(int u,int fa){
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(v==fa)continue;
d[v]=d[u]+1;
anc[v][0]=u;
dfs(v,u);
}
}
int lca(int u,int v){
if(d[u]<d[v])swap(u,v);
for(int i=20;i>=0;i--){
if(d[anc[u][i]]>=d[v]){
u=anc[u][i];
}
}
if(u==v)return u;
for(int i=20;i>=0;i--){
if(anc[u][i]!=anc[v][i]){
u=anc[u][i];
v=anc[v][i];
}
}
return anc[u][0];
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m>>s;
for(int i=1;i<n;i++){
cin>>x>>y;
G[x].push_back(y);
G[y].push_back(x);
}
d[s]=1;
dfs(s,0);
init();
while(m--){
cin>>a>>b;
cout<<lca(a,b)<<"\n";
}
return 0;
}
写法2。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int n,m,s,x,y,a,b;
int d[N],anc[N][110];
vector<int>G[N];
void init(){
for(int j=1;j<=20;j++){
for(int i=1;i<=n;i++){
anc[i][j]=anc[anc[i][j-1]][j-1];
}
}
}
void dfs(int u,int fa){
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(v==fa)continue;
d[v]=d[u]+1;
anc[v][0]=u;
dfs(v,u);
}
}
int LCA(int u,int v){
if(d[u]<d[v])swap(u,v);
int t=d[u]-d[v];
for(int i=20;i>=0;i--){
if(t&(1<<i)){
u=anc[u][i];
}
}
if(u==v)return u;
for(int i=20;i>=0;i--){
if(anc[u][i]!=anc[v][i]){
u=anc[u][i];
v=anc[v][i];
}
}
return anc[u][0];
}
int main(){
cin>>n>>m>>s;
for(int i=1;i<n;i++){
cin>>x>>y;
G[x].push_back(y);
G[y].push_back(x);
}
d[s]=1;
dfs(s,0);
init();
while(m--){
cin>>a>>b;
cout<<LCA(a,b)<<"\n";
}
return 0;
}
树剖。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int n,m,s,x,y,a,b;
int h[N],cnt;
struct node{
int to,nxt;
}e[N];
void add(int u,int v){
e[++cnt].nxt=h[u];
e[cnt].to=v;
h[u]=cnt;
}
int d[N],sz[N];
int son[N],wc[N],f[N];
void dfs(int u,int fa){
sz[u]=1;
d[u]=d[fa]+1;
f[u]=fa;
for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
dfs(v,u);
sz[u]+=sz[v];
if(!wc[u]||sz[wc[u]]<sz[wc[v]]){
wc[u]=v;
}
}
}
int tp[N];
void dfs2(int u,int top){
tp[u]=top;
if(wc[u])dfs2(wc[u],top);
for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(v==f[u]||v==wc[u])continue;
dfs2(v,v);
}
}
int lca(int a,int b){
while(tp[a]!=tp[b]){
if(d[tp[a]]>=d[tp[b]])a=f[tp[a]];
else b=f[tp[b]];
}
if(d[a]<d[b])return a;
else return b;
}
int main(){
cin>>n>>m>>s;
for(int i=1;i<n;i++){
cin>>x>>y;
add(x,y);
add(y,x);
}
dfs(s,0);
dfs2(s,s);
while(m--){
cin>>a>>b;
cout<<lca(a,b)<<"\n";
}
return 0;
}
LCA的tarjan算法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int n,m,u,v,s,fa[N],ans[N];
vector<int>g[N];
vector<pair<int,int> >q[N];
int find(int x){
if(fa[x]==x)return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}
void dfs(int u,int f){
for(int v:g[u]){
if(v!=f)dfs(v,u);
}
for(auto[v,id]:q[u]){
if(!ans[id])ans[id]=-1;
else if(ans[id]==-1)ans[id]=find(v);
}
fa[u]=f;
}
int main(){
cin>>n>>m>>s;
for(int i=1;i<n;i++){
cin>>u>>v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;cin>>u>>v;
q[u].push_back(v,i);
q[v].push_back(u,i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
dfs(s,0);
for(int i=1;i<=m;i++)cout<<ans[i]<<" ";
return 0;
}
Kruskal
时间复杂度\(O(mlogm)\)，适用于稀疏图。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e6+10;
int n,m,cnt,fa[N];
long long ans;
struct node{
int u,v,w;
}e[N];
int find(int x){
if(x==fa[x])return x;
return find(fa[x]);
}
bool cmp(node a,node b){
return a.w<b.w;
}
void kruskal(){
sort(e+1,e+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x=find(e[i].u);
int y=find(e[i].v);
if(x==y)continue;
fa[x]=y;
ans+=e[i].w;
cnt++;
}
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
}
kruskal();
if(cnt==n-1)cout<<ans;
else cout<<"orz";
return 0;
}
prim
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e6+10;
#define p pair<int,int>
struct node{
int nxt,to,dis;
}e[N];
int a,b,c;
int n,m,tot,ans;
int h[N],cnt,d[N];
bool vis[N];
priority_queue<p,vector<p>,greater<p> >q;
void add(int u,int v,int w){
e[++cnt].nxt=h[u];
e[cnt].to=v;
e[cnt].dis=w;
h[u]=cnt;
}
void prim(){
memset(d,0x3f,sizeof(d));
d[1]=0;
q.push(make_pair(0,1));
while(!q.empty()&&tot<n){
int dis=q.top().first;
int u=q.top().second;
q.pop();
if(vis[u])continue;
tot++;
vis[u]=1;
ans+=dis;
for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
int w=e[i].dis;
if(d[v]>w){
d[v]=w;
q.push(make_pair(d[v],v));
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
add(b,a,c);
}
prim();
if(tot==n)cout<<ans;
else cout<<"orz";
return 0;
}
堆优化dijkstra
https://www.luogu.com.cn/article/coko63s4 。
时间复杂度：\(O(mlogn)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int M=5e5+10;
priority_queue<pair<int,int> >q;
int n,m,u,v,w,s,Q,k;
int cnt,h[N],d[N];
bool vis[N];
struct node{
int nxt,to,dis;
}e[M];
void add(int u,int v,int w){
e[++cnt].nxt=h[u];
e[cnt].to=v;
e[cnt].dis=w;
h[u]=cnt;
}
void dij(int s){
memset(d,0x3f,sizeof(d));
memset(vis,0,sizeof(vis));
d[s]=0;
q.push(make_pair(0,s));
while(!q.empty()){
int u=q.top().second;
q.pop();
if(vis[u])continue;
vis[u]=1;
for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
int w=e[i].dis;
if(d[v]>d[u]+w){
d[v]=d[u]+w;
q.push(make_pair(-d[v],v));
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>m;
while(m--){
cin>>u>>v>>w;
add(u,v,w);
add(v,u,w);
}
cin>>s>>Q;
dij(s);
while(Q--){
cin>>k;
cout<<d[k]<<"\n";
}
return 0;
}
次短路
https://www.luogu.com.cn/problem/P2865 。
https://www.luogu.com.cn/problem/P2829 。
//我居然切蓝hhhhc
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
const int N=1e5+10,M=5e5+10;
priority_queue<pair<int,int> >q;
int cnt,h[N],d[N],d2[N];
struct node{
int nxt,to,dis;
}e[M];
void add(int u,int v,int w){
e[++cnt].nxt=h[u];
e[cnt].to=v;
e[cnt].dis=w;
h[u]=cnt;
}
void dijkstra(){
memset(d,0x3f,sizeof(d));
memset(d2,0x3f,sizeof(d2));
q.push(make_pair(0,1));
d[1]=0;
while(!q.empty()){
int u=q.top().second;
int dis=-q.top().first;
q.pop();
if(dis>d2[u])continue;//连次短路都算不上
for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to,w=e[i].dis;
if(dis+w<d[v]){
d2[v]=d[v];//打擂台
d[v]=dis+w;
q.push(make_pair(-d[v],v));
}
if(dis+w>d[v]&&dis+w<d2[v]){
//在两个之间
d2[v]=dis+w;
q.push(make_pair(-d2[v],v));
}
}
}
}
int u,v,w;
int main(){
cin>>n>>m;
while(m--){
cin>>u>>v>>w;
add(u,v,w);
add(v,u,w);
}
dijkstra();
cout<<d2[n];
return 0;
}
字典树
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e6+10;
int T,n,q,word[N],ans,tot,trie[N][65];
int num(char x){
if(x>='A'&&x<='Z')return x-'A';
if(x>='a'&&x<='z')return x-'a'+26;
else return x-'0'+52;
}
void insert(char c[]){
int u=0;
int len=strlen(c);
for(int i=0;i<len;i++){
int a=num(c[i]);
if(trie[u][a]==0){
trie[u][a]=++tot;
}
u=trie[u][a];
word[u]++;
}
}
int find(char c[]){
int u=0;
int len=strlen(c);
for(int i=0;i<len;i++){
int a=num(c[i]);
if(trie[u][a]==0){
return 0;
}
u=trie[u][a];
}
return word[u];
}
char s[N];
int main(){
cin>>T;
while(T--){
cin>>n>>q;
for(int i=0;i<=tot;i++){
for(int j=0;j<=100;j++){
trie[i][j]=0;
}
}
for(int i=0;i<=tot;i++){
word[i]=0;
}
tot=0;
while(n--){
scanf("%s",s);
insert(s);
}
while(q--){
scanf("%s",s);
printf("%d\n",find(s));
}
}
return 0;
}
字典树，一般长这样，但是可以有很多拓展的玩法，比如 01trie。因此需要灵活运用。
void insert(char c[]){
int u=0;
int len=strlen(c);
for(int i=0;i<len;i++){
int a=c[i]-'a';
if(trie[u][a]==0){
trie[u][a]=++tot;
}
u=trie[u][a];
}
}
bool find(char c[]){
int u=0;
int len=strlen(c);
for(int i=0;i<len;i++){
int a=c[i]-'a';
if(trie[u][a]==0){
return 0;
}
u=trie[u][a];
}
return 1;
}
字典树合并
int merge(int a,int b){//根分别是a和b
if(!a)return b;
if(!b)return a;
w[a]=w[a]+w[b];
xorv[a]^=xorv[b];
t[a][0]=merge(t[a][0],t[b][0]);
t[a][1]=merge(t[a][1],t[b][1]);
return a;
}
字典树维护全局加一
void addall(int u){
swap(t[u][0],t[u][1]);
if(t[u][0])addall(t[u][0]);
maintain(u);//维护原有信息
}
矩阵快速幂
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int p=1e9+7;
int n,k;
struct Matrix{
int a[110][110];
};
Matrix operator*(const Matrix&a,const Matrix&b){
Matrix c;
memset(c.a,0,sizeof(c.a));
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int k=1;k<=n;k++){
c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%p)%p;
}
}
}
return c;
}
Matrix qpow(Matrix x,int k){
Matrix res;
memset(res.a,0,sizeof res.a);
for(int i=1;i<=n;i++){
res.a[i][i]=1;
}
while(k){
if(k&1)res=res*x;
x=x*x;
k>>=1;
}
return res;
}
signed main(){
Matrix A;
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
cin>>A.a[i][j];
}
}
Matrix B=qpow(A,k);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
cout<<B.a[i][j]<<" ";
}
cout<<"\n";
}
return 0;
}
tarjan
有向图tarjan
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
//建图
int n,m,a,b,ans;
int h[N],cnt;
struct node{int nxt,to;}e[N];
void add(int u,int v){
e[++cnt].nxt=h[u];
e[cnt].to=v;
h[u]=cnt;
}
//dfn:时间戳 low:最小时间戳 size:分量大小
//ins:是否在栈内 tot:当前时间 idx:分量编号
//st:栈 top:栈顶所在位置 bel:属于哪个分量
int dfn[N],low[N],size[N];
bool ins[N];
int tot,idx,st[N],top,bel[N];
//标准tarjan流程
void tarjan(int u){
low[u]=dfn[u]=++tot;
st[++top]=u;
ins[u]=1;
for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(ins[v]){
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
if(low[u]==dfn[u]){
int v;
++idx;
do{
v=st[top--];
bel[v]=idx;
ins[v]=0;
size[idx]++;
}while(v!=u);
}
}
int main(){
cin>>n>>m;
while(m--){
cin>>a>>b;
add(a,b);
}
//防止原图不联通
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfn[i]){
tarjan(i);
}
}
//大于1的分量才算入
for(int i=1;i<=idx;i++){
if(size[i]<=1){
continue;
}
ans++;
}
cout<<ans;
return 0;
}
无向图tarjan
void tarjan(int u,int fa){
low[u]=dfn[u]=++tot;
st[++top]=u;
ins[u]=1;
for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
if(!dfn[v]){
tarjan(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else{
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
if(low[u]==dfn[u]){
int v;
++idx;
do{
v=st[top--];
bel[v]=idx;
ins[v]=0;
}while(v!=u);
}
}
缩点
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,a[N],u,v,ans;
int h[N],cnt;
struct node{int nxt,to;}e[N];
void add(int u,int v){
e[++cnt].nxt=h[u];
e[cnt].to=v;
h[u]=cnt;
}
int dfn[N],low[N],dp[N];
bool ins[N];
int tot,idx,st[N],top,bel[N];
void tarjan(int u){
low[u]=dfn[u]=++tot;
st[++top]=u;
ins[u]=1;
for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(ins[v]){
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
if(low[u]==dfn[u]){
int v;
++idx;
int sum=0;
do{
v=st[top--];
bel[v]=idx;
ins[v]=0;
sum+=a[v];
for(int i=h[v];i;i=e[i].nxt){
dp[idx]=max(dp[idx],dp[bel[e[i].to]]);
}
}while(v!=u);
dp[idx]+=sum;
ans=max(ans,dp[idx]);
}
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
while(m--){
cin>>u>>v;
add(u,v);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfn[i]){
tarjan(i);
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
割点
https://www.luogu.com.cn/problem/P3388 。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define For(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
int n,m,rt,tim;
const int N=1e5+10;
int dfn[N],low[N];
int ans[N];
vector<int>G[N];
void tarjan(int u,bool rt){
low[u]=dfn[u]=++tim;
int son=0;
for(int v:G[u]){
if(!dfn[v]){
tarjan(v,0);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if(!rt&&low[v]>=dfn[u])ans[u]=1;
if(rt)son++;
}
else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(rt&&son>=2)ans[u]=1;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
while(m--){
int u,v;cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
For(i,1,n){
if(!dfn[i]){
tarjan(i,1);
}
}
int num=0;
For(i,1,n){
if(ans[i])num++;
}
cout<<num<<"\n";
For(i,1,n){
if(ans[i])cout<<i<<" ";
}
return 0;
}
判断字符串的循环节
一种经典的判断方法。找出字符串一对相等的前缀和后缀，此时除后缀外剩下的字符串就是循环节。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll unsigned long long
const int N=1e6+10;
int n;
string s;
ll h[N],p[N];
ll get(int l,int r){
return h[r]-h[l-1]*p[r-l+1];
}
int main(){
cin>>n>>s;
s=' '+s;
p[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
h[i]=h[i-1]*13331+s[i];
p[i]=p[i-1]*13331;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(get(i+1,n)==get(1,n-i)){
cout<<i<<"\n";
return 0;
}
}
return 0;
}
为什么可以这样？例如：cabcabcabca，循环节是cab。发现可以由 cabcabca 拼接而成。
cabcabca
cabcabca
发现新拼接的字符串是由
原来含循环节的字符串再次拼接而成。
把非循环节的部分留到了最后，前面一定是重复的循环节。
又因为1~3的部分与4~6的部分完全相同，
所以循环节就是前面部分。
树链剖分
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1e5+10;
int u,v,op,x,y,z;
int n,m,r,p,vistime;
int a[N],fa[N],wc[N],sz[N];
int top[N],dfn[N],rdfn[N],d[N];
//dfn[x]=y表示节点y是DFS序的第x个
//rdfn[x]=y表示DFS序的第x个是节点y
vector<int>G[N];
void dfs1(int u,int f){
fa[u]=f;
sz[u]=1;
d[u]=d[f]+1;
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(v==f)continue;
dfs1(v,u);
sz[u]+=sz[v];
if(sz[v]>sz[wc[u]]){
wc[u]=v;
}
}
}
void dfs2(int u,int Top){
dfn[u]=++vistime;
rdfn[vistime]=u;
top[u]=Top;
if(wc[u]){
dfs2(wc[u],Top);//递归重孩子
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(v==fa[u]||v==wc[u])continue;
dfs2(v,v);//递归轻孩子
}
}
}
struct node{
ll w,tag;
}tree[4*N];
void pushup(int u){
tree[u].w=(tree[u*2].w+tree[u*2+1].w)%p;
}
void build(int u,int l,int r){
if(l==r){
tree[u].w=a[rdfn[l]];
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(u*2,l,mid);
build(u*2+1,mid+1,r);
pushup(u);
}
void maketag(int u,int len,ll x){
tree[u].tag+=x;
tree[u].tag%=p;
tree[u].w+=len*x%p;
tree[u].w%=p;
}
void pushdown(int u,int l,int r){
int mid=(l+r)/2;
maketag(u*2,mid-l+1,tree[u].tag);
maketag(u*2+1,r-mid,tree[u].tag);
tree[u].tag=0;
}
ll query(int u,int L,int R,int l,int r){
if((l<=L)&&(R<=r)){
return tree[u].w;
}
else if(!(L>r||R<l)){
int mid=(L+R)/2;
pushdown(u,L,R);
return (query(u*2,L,mid,l,r)+query(u*2+1,mid+1,R,l,r))%p;
}
else{
return 0;
}
}
void update(int u,int L,int R,int l,int r,ll x){
if((l<=L)&&(R<=r)){
maketag(u,R-L+1,x);
}
else if(!(L>r||R<l)){
int mid=(L+R)/2;
pushdown(u,L,R);
update(u*2,L,mid,l,r,x);
update(u*2+1,mid+1,R,l,r,x);
pushup(u);
}
}
void upd(int x,int y,int z){
while(top[x]!=top[y]){
if(d[top[x]]<d[top[y]]){
swap(x,y);//保证x链头更大
}
update(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],z);
//修改区间[dfn[top[x]],dfn[x]]
x=fa[top[x]];
}
//当x和y共链时
update(1,1,n,min(dfn[x],dfn[y]),max(dfn[x],dfn[y]),z);
}
int qry(int x,int y){
ll ans=0;
while(top[x]!=top[y]){
if(d[top[x]]<d[top[y]]){
swap(x,y);//保证x链头更大
}
ans+=query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
//查询区间[dfn[top[x]],dfn[x]]
ans%=p;
x=fa[top[x]];
}
//当x和y共链时
ans+=query(1,1,n,min(dfn[x],dfn[y]),max(dfn[x],dfn[y]));
ans%=p;
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&p);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d",&u,&v);
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
dfs1(r,0);
dfs2(r,0);
build(1,1,n);
while(m--){
scanf("%d",&op);
if(op==1){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
upd(x,y,z);
}
if(op==2){
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%lld\n",qry(x,y));
}
if(op==3){
scanf("%d%d",&x,&y);
update(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1,y);
}
if(op==4){
scanf("%d",&x);
printf("%lld\n",query(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1)%p);
}
}
return 0;
}
求解方程 \(ax+by=1\):
其中\(gcd(a,b)=1\)。
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,x,y;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){x=1;y=0;return a;}
ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main(){
cin>>a>>b;
ll t=exgcd(a,b,x,y);
if(t!=1){cout<<"No answer.";return 0;}
cout<<x<<" "<<y<<endl;
cout<<"gcd("<<a<<","<<b<<")="<<t;
}
求解同余方程组：
\[\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \\ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \\ ... \\ x \equiv b_n\ ({\rm mod}\ a_n)\end{cases}
\]
其中，\(a_1,a_2,...,a_n\)两两互质。
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,b[20],a[20],M[20],mul=1,X;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){x=1;y=0;return;}
exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-y*(a/b);
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
mul*=a[i];
cin>>b[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
ll x=0,y=0;
M[i]=mul/a[i];
exgcd(M[i],a[i],x,y);
X+=b[i]*M[i]*(x<0?x+a[i]:x);
}
cout<<X%mul;
return 0;
}
$ a x \equiv 1 \pmod {b}$的最小整数解。
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){x=1;y=0;return a;}
ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main(){
cin>>a>>b;
ll x=0,y=0;
exgcd(a,b,x,y);
cout<<(x+b)%b;
return 0;
}
\(1\sim n\) 模 \(p\) 意义下的乘法逆元。
这里 \(a\) 模 \(p\) 的乘法逆元定义为 \(ax\equiv1\pmod p\) 的解。
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=3e6+10;
long long n,p,inv[N];
int main(){
scanf("%lld%lld",&n,&p);
inv[1]=1;
printf("%lld\n",inv[1]);
for(long long i=2;i<=n;i++){
inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
printf("%lld\n",inv[i]);
}
}
\(\varphi (n)\)。
别忘了 \(\varphi (1)=1\)，\(\varphi (2)=1\)。
void euler(int n){
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!phi[i]){
prime[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=tot;j++){
if(i*prime[j]>n)break;
if(!(i%prime[j])){
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
\(a^b \bmod m\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,m,b;
inline ll read(ll m){
register ll x=0,f=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))ch=getchar();
while(isdigit(ch)){
x=x*10+ch-'0';
if(x>=m)f=1;
x%=m;ch=getchar();
}
return x+(f==1?m:0);
}
ll qpow(ll a,ll b,ll p){
ll ret=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)ret=ret*a%p;
return ret;
}
ll phi(ll n){
ll ans=n;
for(ll i=2;i*i<=n;i++){
if(n%i==0){
ans=ans/i*(i-1);
while(n%i==0)n/=i;
}
}
if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
return ans;
}
int main(){
scanf("%lld%lld",&a,&m);
b=read(phi(m));
printf("%lld",qpow(a,b,m));
return 0;
}
KMP
定义一个字符串 \(s\) 的 border 为 \(s\) 的一个非 \(s\) 本身的子串 \(t\)，满足 \(t\) 既是 \(s\) 的前缀，又是 \(s\) 的后缀。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
string s1,s2;
int bor[N];
int main(){
cin>>s1>>s2;
int j=0;
for(int i=1;i<s2.size();i++){
while(j>0&&s2[i]!=s2[j]){
j=bor[j-1];
}
if(s2[i]==s2[j])j++;
bor[i]=j;
}
j=0;
for(int i=0;i<s1.size();i++){
while(j>0&&s1[i]!=s2[j]){
j=bor[j-1];
}
if(s1[i]==s2[j])j++;
if(j==s2.size()){
cout<<i+1-s2.size()+1<<endl;
j=bor[j-1];
}
}
for(int i=0;i<s2.size();i++){
cout<<bor[i]<<" ";
}
return 0;
}
快读
inline int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-48;c=getchar();}
return x*f;
}
快速幂
ll qpow(ll a,ll b){
ll res=1;
a=a%p;
while(b){
if(b&1)res=(res*a)%p;
b>>=1;
a=(a*a)%p;
}
return res;
}
哈希
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
string s;
#define ll long long
const int N=1e4+10;
const ll p=998244353;
ll Hash(string s){
ll res=0;
for(int i=0;i<s.size();i++){
res=(133331*res+s[i])%p;
}
return res;
}
ll h[N];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>s;
h[i]=Hash(s);
}
sort(h+1,h+n+1);
int ans=unique(h+1,h+n+1)-h-1;
cout<<ans;
return 0;
}
二维哈希（双模数）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2010;
#define ll unsigned long long
ll a[N][N],b[N][N];
ll h[N],h2[N];
int n,m,q,A,B;
string s;
map<ll,int>v;
ll get(int x,int x2,int y,int y2){
ll ans=a[x2][y2]-a[x-1][y2]*h[x2-x+1];
ans=ans-a[x2][y-1]*h2[y2-y+1];
ans=ans+a[x-1][y-1]*h[x2-x+1]*h2[y2-y+1];
return ans;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m>>A>>B;
h[0]=h2[0]=1;
for(int i=1;i<=max(n,m);i++){
h[i]=h[i-1]*1331;
h2[i]=h2[i-1]*13331;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>s;
for(int j=1;j<=m;j++){
a[i][j]=s[j-1]^48;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
a[i][j]+=a[i][j-1]*13331;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
a[i][j]+=a[i-1][j]*1331;
}
}
for(int i=1;i<=n-A+1;i++){
for(int j=1;j<=m-B+1;j++){
v[get(i,i+A-1,j,j+B-1)]=1;
}
}
cin>>q;
while(q--){
for(int i=1;i<=A;i++){
cin>>s;
for(int j=1;j<=B;j++){
b[i][j]=s[j-1]^48;
}
}
for(int i=1;i<=A;i++){
for(int j=1;j<=B;j++){
b[i][j]+=b[i][j-1]*13331;
}
}
for(int i=1;i<=A;i++){
for(int j=1;j<=B;j++){
b[i][j]+=b[i-1][j]*1331;
}
}
cout<<v[b[A][B]]<<"\n";
}
return 0;
}
树状数组
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int n,tree[N];
int sum(int x){
int ans=0;
for(;x;x-=x&(-x))ans+=tree[x];
return ans;
}
void add(int x,int value){
for(;x<=n;x+=x&(-x))tree[x]+=value;
}
int main(){
//主函数
return 0;
}
此处的sum记录前缀和，复杂度O(logn)，add可以添加数进入某个位置。
修改树状数组的定义可以实现后缀查询。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n=5,tree[10];
int sum(int x){
int ans=0;
for(;x<=n;x+=x&(-x))ans+=tree[x];
return ans;
}
void add(int x,int value){
for(;x;x-=x&(-x))tree[x]+=value;
}
int main(){
for(int i=1;i<=n;i++){
add(i,i);
}
cout<<sum(4);//4-5的和
return 0;
}
背包
0\1背包(每个物体使用一次)
#include<iostream>
using namespace std;
int T,M,t[110],w[110],f[1010];
int main(){
cin>>T>>M;
for(int i=1;i<=M;i++)cin>>t[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=M;i++)
for(int j=T;j>=t[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+w[i]);
cout<<f[T];
}
完全背包(每个物品无限使用)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long T,M,t[10010],w[10010],f[10000010];
int main(){
cin>>T>>M;
for(int i=1;i<=M;i++)cin>>t[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=M;i++)
for(int j=t[i];j<=T;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+w[i]);
cout<<f[T];
}
多重背包(每个物品规定了可用的次数)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,n1,v[10001],w[10001],f[6001];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
int x,y,s,t=1;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&s);
while(s>=t){
v[++n1]=x*t;
w[n1]=y*t;
s-=t;
t*=2;
}
v[++n1]=x*s;
w[n1]=y*s;
}
for(int i=1;i<=n1;i++)
for(int j=m;j>=v[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
printf("%d\n",f[m]);
return 0;
}
线段树模版
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1e5+10;
int a[N];
//线段树
struct node{
ll w,tag;
}tree[4*N];
//求和过程
void pushup(int u){
tree[u].w=tree[u*2].w+tree[u*2+1].w;
}
//建树
void build(int u,int l,int r){
if(l==r){tree[u].w=a[l];return;}
int mid=(l+r)/2;
build(u*2,l,mid);
build(u*2+1,mid+1,r);
pushup(u);
}
//单点查询
ll query1(int u,int l,int r,int p){
if(l==r)return tree[u].w;
int mid=(l+r)/2;
if(mid>=p)query1(u*2,l,mid,p);
else query1(u*2+1,mid+1,r,p);
}
//单点修改
void update1(int u,int l,int r,int p,ll x){
if(l==r){tree[u].w=x;return;}
int mid=(l+r)/2;
if(mid>=p)update1(u*2,l,mid,p,x);
else update1(u*2+1,mid+1,r,p,x);
pushup(u);
}
//更新延时标记
void maketag(int u,int len,ll x){
tree[u].tag+=x;
tree[u].w+=len*x;
}
//下传延时标记
void pushdown(int u,int l,int r){
int mid=(l+r)/2;
maketag(u*2,mid-l+1,tree[u].tag);
maketag(u*2+1,r-mid,tree[u].tag);
tree[u].tag=0;
}
//区间查询
ll query2(int u,int L,int R,int l,int r){
if(l<=L&&R<=r)return tree[u].w;
else if(!(L>r||R<l)){
int mid=(L+R)/2;
pushdown(u,L,R);
return query2(u*2,L,mid,l,r)+query2(u*2+1,mid+1,R,l,r);
}
else return 0;
}
//区间修改
void update2(int u,int L,int R,int l,int r,ll x){
if(l<=L&&R<=r)maketag(u,R-L+1,x);
else if(!(L>r||R<l)){
int mid=(L+R)/2;
pushdown(u,L,R);
update2(u*2,L,mid,l,r,x);
update2(u*2+1,mid+1,R,l,r,x);
pushup(u);
}
}
int main(){
return 0;
}
封装写法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=2e5+10;
int a[N];
struct Seg{
struct node{
ll w,tag;
};
vector<node>t;
int n;
Seg(int _n):n(_n),t(4*_n+1){}
//求和过程
void pushup(int u){
t[u].w=t[u*2].w+t[u*2+1].w;
}
//建树
void build(int u,int l,int r){
if(l==r){t[u].w=a[l];return;}
int m=(l+r)/2;
build(u*2,l,m);
build(u*2+1,m+1,r);
pushup(u);
}
//单点查询
ll qry1(int u,int l,int r,int p){
if(l==r)return t[u].w;
int m=(l+r)/2;
if(m>=p)qry1(u*2,l,m,p);
else qry1(u*2+1,m+1,r,p);
}
//单点修改
void upd1(int u,int l,int r,int p,ll x){
if(l==r){t[u].w=x;return;}
int m=(l+r)/2;
if(m>=p)upd1(u*2,l,m,p,x);
else upd1(u*2+1,m+1,r,p,x);
pushup(u);
}
//更新延时标记
void tag(int u,int len,ll x){
t[u].tag+=x;
t[u].w+=len*x;
}
//下传延时标记
void pushdown(int u,int l,int r){
int m=(l+r)/2;
tag(u*2,m-l+1,t[u].tag);
tag(u*2+1,r-m,t[u].tag);
t[u].tag=0;
}
//区间查询
ll qry2(int u,int L,int R,int l,int r){
if(l<=L&&R<=r)return t[u].w;
else if(!(L>r||R<l)){
int m=(L+R)/2;
pushdown(u,L,R);
return qry2(u*2,L,m,l,r)+qry2(u*2+1,m+1,R,l,r);
}
else return 0;
}
//区间修改
void upd2(int u,int L,int R,int l,int r,ll x){
if(l<=L&&R<=r)tag(u,R-L+1,x);
else if(!(L>r||R<l)){
int m=(L+R)/2;
pushdown(u,L,R);
upd2(u*2,L,m,l,r,x);
upd2(u*2+1,m+1,R,l,r,x);
pushup(u);
}
}
};
int main(){
return 0;
}
线段树变式
需要维护乘法和加法的延迟标记，记得先乘后加。
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1e5+10;
int n,m,p,op,x,y,k;
ll a[N];
struct node{
ll w,add,mul;
}tree[4*N];
void pushup(int u){
tree[u].w=(tree[u*2].w+tree[u*2+1].w)%p;
}
void build(int u,int l,int r){
tree[u].mul=1;
if(l==r){tree[u].w=a[l];return;}
int mid=(l+r)/2;
build(u*2,l,mid);
build(u*2+1,mid+1,r);
pushup(u);
}
void maketag(int u,int len,ll x,int type){
if(type==1){
(tree[u].add*=x)%=p;
(tree[u].mul*=x)%=p;
(tree[u].w*=x)%=p;
}
else{
(tree[u].add+=x)%=p;
(tree[u].w+=len*x)%=p;
}
}
void pushdown(int u,int l,int r){
int mid=(l+r)/2;
maketag(u*2,mid-l+1,tree[u].mul,1);
maketag(u*2,mid-l+1,tree[u].add,2);
maketag(u*2+1,r-mid,tree[u].mul,1);
maketag(u*2+1,r-mid,tree[u].add,2);
tree[u].mul=1;
tree[u].add=0;
}
ll query(int u,int L,int R,int l,int r){
if((l<=L)&&(R<=r))return tree[u].w;
else if(!((L>r)||(R<l))){
int mid=(L+R)/2;
pushdown(u,L,R);
return (query(u*2,L,mid,l,r)+query(u*2+1,mid+1,R,l,r))%p;
}
else return 0;
}
void update(int u,int L,int R,int l,int r,ll x,int type){
if((l<=L)&&(R<=r)){
maketag(u,R-L+1,x,type);
}
else if(!((L>r)||(R<l))){
int mid=(L+R)/2;
pushdown(u,L,R);
update(u*2,L,mid,l,r,x,type);
update(u*2+1,mid+1,R,l,r,x,type);
pushup(u);
}
return;
}
int main(){
cin>>n>>m>>p;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
build(1,1,n);
while(m--){
cin>>op;
if(op==1){
cin>>x>>y>>k;
update(1,1,n,x,y,k,1);
}
else if(op==2){
cin>>x>>y>>k;
update(1,1,n,x,y,k,2);
}
else{
cin>>x>>y;
cout<<query(1,1,n,x,y)%p<<endl;
}
}
return 0;
}
zkw树
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e6+10;
int n,m,k,tree[N],tag[N];
//建树
void build(int n){
for(m=1;m<n+2;m<<=1);
for(int i=m+1;i<=m+n;i++){cin>>tree[i];}
for(int i=m-1;i;i--){tree[i]=tree[i*2]+tree[i*2+1];}
}
//点修
void update_node(int x,int v){
for(x+=m;x;x>>=1){tree[x]+=v;}
}
//区修
void update_sum(int x,int y,int v){
int len=1,xl=0,yl=0;
for(x=x+m-1,y=y+m+1;x^y^1;x/=2,y/=2,len*=2){
tree[x]+=xl*v;tree[y]+=yl*v;
if(~x&1){tree[x^1]+=v*len;xl+=len;tag[x^1]+=v;}
if(y&1){tree[y^1]+=v*len;yl+=len;tag[y^1]+=v;}
}
while(x){tree[x]+=xl*v;tree[y]+=yl*v;x/=2;y/=2;}
}
//区间和
int query_sum(int x,int y){
int ans=0,len=1,xl=0,yl=0;
for(x=x+m-1,y=y+m+1;x^y^1;x/=2,y/=2,len*=2){
ans+=xl*tag[x]+yl*tag[y];
if(~x&1){ans+=tree[x^1];xl+=len;}
if(y&1){ans+=tree[y^1];yl+=len;}
}
while(x){ans+=xl*tag[x]+yl*tag[y];x/=2;y/=2;}
return ans;
}
int main(){
cin>>n>>k;build(n);
for(int i=1;i<=k;i++){
int op,x,y,w;
cin>>op>>x>>y;
if(op==1){
cin>>w;
update_sum(x,y,w);
}
else cout<<query_sum(x,y)<<"\n";
}
return 0;
}
权值线段树
用数组 \(T\) 统计某个数出现的个数，想要计算 \([l,r]\) 中每个数出现了几次建立关于数组 \(T\) 的线段树再计算区间和即可。
线段树二分
例题：有一个初始为空的可重集合 \(S\)，每次有两种操作：
1.往 \(S\) 中放入一个数。
2.询问第 \(k\) 小的数。
数的范围是 \([0,10^{5}]\)。
令 \(T\) 为集合 \(S\) 的统计数组，即 \(T[x]\) 表示 \(S\) 中有多少个 \(x\) 对于增加 \(x\) 的操作，就相当于 \(T[x]\) ++。对于第 \(k\) 小的询问，就是要找到最小的 \(x\) 使得 \(T[0]\)+\(T[1]\)+…+\(T[x] \ge k\) 。
考虑对这个问题进行二分，假设当前二分的区间为[l,r]
令mid=(l+r)/2，则我们先判断T[l]+T[l+1]+…+T[mid]是否>=k。
如果满足，则说明答案为[l,mid]中的第k小的数。否则，答案为[mid+1,r]中的第k-(T[l]+T[l+1]+…+T[mid])小的数。
而注意我们线段树的结构，如果节点i存的信息是T[l]+T[l+1]+…+T[r] ，则T[l]+T[l+1]+…+T[mid]就是i的左孩子的信息。
也就是说，维护了线段树以后，我们二分时需要查询的信息都是已经存在线段树中的，代码如下。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int t[N<<2];
int q,op,k;
void upd(int u,int l,int r,int x){
t[u]++;
if(l==r){
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)upd(u*2,l,mid,x);
else upd(u*2+1,mid+1,r,x);
}
int qry(int u,int l,int r,int k){
if(l==r){
return l;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(t[u*2]>=k){
return qry(u*2,l,mid,k);
}
else{
return qry(u*2+1,mid+1,r,k-t[u*2]);
}
}
int main(){
cin>>q;
while(q--){
cin>>op>>k;
if(op==1){
upd(1,1,N-10,k);
}
else{
cout<<qry(1,1,N-10,k)<<"\n";
}
}
return 0;
}
前缀和和差分
一维前缀和：\(s_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\)。
一维差分：\(c_{i}=a_{i}-a_{i-1}\)。
二维前缀和：\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i,j}\)。
求某矩阵和：\(s_{x2,y2}-s_{x2,y1-1}-s_{x1-1,y2}+s_{x1-1,y1-1}\)。
//二维差分
//预处理
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
c[i][j]=c[i][j]+c[i-1][j]+c[i][j-1]-c[i-1][j-1];
//修改区间：
c[x1][y1]+=v;
c[x2+1][y1]-=v;
c[x1][y2+1]-=v;
c[x2+1][y2+1]+=v;
高维前缀和和差分：容斥原理。
离散化
//把形如这样的数组：9999999999 1000 100000000 7382190790247389
//变成：3 1 2 4
//这样减小值域的方法叫离散化
离散化好处：比如需要用桶记录每个数字出现了几次，因为数组空间开 1e9 会爆，所以我们可以离散化把数字变小再来统计。
以下这段代码可以把数组中重复出现的数字只输出一次。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,a[N];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
sort(a+1,a+n+1);//一定要先排序,不然去重有误
int cnt=unique(a+1,a+n+1)-a-1;
//和sort有点像，标从1-n，括号内要写(a+1,a+n+1)
//cnt代表去重后有几个数字
for(int i=1;i<=cnt;i++){
cout<<a[i]<<" ";
}
return 0;
}
//输入:
//10
//1 1 4 4 5 5 1 1 4 4
//输出：
//1 4 5
//输出(不排序)
//1 4 5 1 4
如果想知道去重后原数组每个数字分别是第几大。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,a[N],t[N];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
t[i]=a[i];//用t数组记录
}
sort(t+1,t+n+1);//一定要先排序,不然去重有误
int cnt=unique(t+1,t+n+1)-t-1;
//和sort有点像，标从1-n，括号内要写(a+1,a+n+1)
//cnt代表去重后有几个数字
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<lower_bound(t+1,t+cnt+1,a[i])-t<<" ";
//查找a[i]是第几大，从而实现重新编号
}
return 0;
}
统计数组每个数字出现几次。
a:999999999 999999999 859835793083488 999999999
原来：i=1:num[999999999]++;
i=2:num[999999999]++;
i=3:num[859835793083488]++;
i=4:num[999999999]++;
值域太大无法实现
离散化关键代码：a[i]=lower_bound(t+1,t+cnt+1,a[i])-t;
离散化后：原数组：1 1 2 1
现在：i=1:num[1]++;
i=2:num[1]++;
i=3:num[2]++;
i=4:num[1]++;
给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(a\)。定义 \(\mathrm{rank}(i)\) 表示数列 \(a\) 中比 \(a_i\) 小的不同数字个数再加一。输出所有 \(\mathrm{rank}(i)\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,a[N],t[N];
void solve(){
memset(a,0,sizeof(a));
memset(t,0,sizeof(t));
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
t[i]=a[i];//用t数组记录
}
sort(t+1,t+n+1);//一定要先排序,不然去重有误
int cnt=unique(t+1,t+n+1)-t-1;
//和sort有点像，标从1-n，括号内要写(a+1,a+n+1)
//cnt代表去重后有几个数字
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=lower_bound(t+1,t+cnt+1,a[i])-t;
//查找a[i]是第几大，从而实现重新编号
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<"\n";
}
int T;
int main(){
cin>>T;
while(T--){
solve();
}
return 0;
}
并查集
有启发式合并，实现：比较两个即将合并的并查集的大小，小的合到大的那里，可以提升效率。
int find(int x){
if(x==fa[x])return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}
线性筛
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7+10;
#define int long long
int n;
int phi[N];
bitset<N>v;
//phi:φ
//v:是否为质数
int mn[N];
//mn:n的最小质因子
int p[N],cnt;
//p:质数集合，p[i]表示第i个质数
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n;
v[1]=1;mn[1]=1;phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!v[i]){
p[++cnt]=i;
mn[i]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
v[i*p[j]]=1;
mn[i*p[j]]=p[j];
if(i%p[j]==0){
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
break;
}
phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
}
}
if(v[n]==0)cout<<"Yes\n";
else cout<<"No\n";
cout<<mn[n]<<"\n"<<phi[n];
return 0;
}
拓展欧几里得
//ll是long long，这里用了宏定义
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){x=1;y=0;return a;}
ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
ST表
时间复杂度：\(O(nlogn)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
#define int long long
int n,m;
int f[N][30];
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>f[i][0];
}
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
for(int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++){
f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
while(m--){
int l,r;
cin>>l>>r;
int k=log2(r-l+1);
cout<<max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k])<<"\n";
}
return 0;
}
扫描线
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n;
#define ll long long
ll a[N],ans;
ll x,y,x2,y2;
struct node{
int num;
ll len;
}t[N<<2];
struct line{
ll x,x2,y;
int tag;
}p[N<<2];
bool cmp(line a,line b){
return a.y<b.y;
}
void pushup(int u,int l,int r){
if(t[u].num>0){
t[u].len=a[r]-a[l];
return;
}
t[u].len=t[u*2].len+t[u*2+1].len;
}
void upd(int u,int L,int R,int l,int r,int tag){
if(a[R]<=l||r<=a[L])return;
if(l<=a[L]&&a[R]<=r){
t[u].num+=tag;
pushup(u,L,R);
return;
}
int mid=(L+R)>>1;
upd(u*2,L,mid,l,r,tag);
upd(u*2+1,mid,R,l,r,tag);
pushup(u,L,R);
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>x>>y>>x2>>y2;
p[i]=line{x,x2,y,1};
p[i+n]=line{x,x2,y2,-1};
a[i]=x;a[i+n]=x2;
}
n<<=1;
sort(p+1,p+n+1,cmp);
sort(a+1,a+n+1);
for(int i=1;i<n;i++){
upd(1,1,n,p[i].x,p[i].x2,p[i].tag);
ans+=(p[i+1].y-p[i].y)*t[1].len;
}
cout<<ans;
return 0;
}
可持久化线段树
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,m,sum;
struct node{
int l,r,w;
}t[N<<5];
int a[N],h[N];
int T[N],l,r,k;
int build(int u,int l,int r){
++sum;
if(l==r)return u;
int mid=(l+r)>>1;
t[u].l=build(u+1,l,mid);
t[u].r=build(u+1,mid+1,r);
return u;
}
int upd(int u,int l,int r,int x){
int p=++sum;
t[p].l=t[u].l;
t[p].r=t[u].r;
t[p].w=t[u].w+1;
if(l!=r){
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)t[p].l=upd(t[u].l,l,mid,x);
else t[p].r=upd(t[u].r,mid+1,r,x);
}
return p;
}
int qry(int u,int v,int l,int r,int k){
if(l==r)return h[l];
int mid=(l+r)>>1;
int num=t[t[v].l].w-t[t[u].l].w;
if(num>=k)return qry(t[u].l,t[v].l,l,mid,k);
else return qry(t[u].r,t[v].r,mid+1,r,k-num);
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
h[i]=a[i];
}
sort(h+1,h+n+1);
int cnt=unique(h+1,h+n+1)-h-1;
T[0]=build(1,1,cnt);
for(int i=1;i<=n;i++){
int x=lower_bound(h+1,h+cnt+1,a[i])-h;
T[i]=upd(T[i-1],1,cnt,x);
}
while(m--){
cin>>l>>r>>k;
cout<<qry(T[l-1],T[r],1,cnt,k)<<"\n";
}
return 0;
}
求任意n个数的逆元
时间复杂度：\(O(n+logp)\)。
#include<iostream>
using namespace std;
#define int long long
const int N=3e6+10;
int n,p;
int qpow(int a,int b){
int res=1;
while(b){
if(b&1)res=res*a%p;
b>>=1;
a=a*a%p;
}
return res;
}
int fac[N],invj[N];
int a[N],inv[N];
signed main(){
cin>>n>>p;
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
fac[i]=fac[i-1]*a[i]%p;
}
invj[n]=qpow(fac[n],p-2)%p;
for(int i=n-1;i>=1;i--){
invj[i]=a[i+1]%p*invj[i+1]%p;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
inv[i]=fac[i-1]*invj[i]%p;
cout<<inv[i]<<" ";
}
return 0;
}
最小表示法
把串复制一遍接在后面，当查找时一个串优于另一个串，我们就用更优的那个替换当前串，因此将指针移到更优串那里，因此当 S[i-i+k] 优于 S[j-j+k] 时，j 移动到 i+k+1 的位置，可以保证 i~i+k 中没有更优解。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int num[600010],n;
int find(){
int i=1,j=2,k=0;
while(i<=n&&j<=n){
while(num[i+k]==num[j+k]&&k<=n)k++;
//塞满n个为止，但出现不同就不必再加
if(num[i+k]>num[j+k])i=i+k+1;
//i串当前位置更大,j串优
else j=j+k+1;
//j串位置大
if(i==j)j++;//i,j是一样的串时,j后移一个
k=0;
}
return min(i,j);
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>num[i];
num[i+n]=num[i];
}
int t=find();
for(int i=t;i<t+n;i++){
printf("%d ",num[i]);
}
return 0;
}
无向图三元环计数
时间复杂度: \(O(m \sqrt m)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int M=2e5+10;
bool vis[N];
int n,m,d[N];
int u[M],v[M],ans;
vector<int>G[N];
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>u[i]>>v[i];
d[u[i]]++;
d[v[i]]++;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
if(d[u[i]]>d[v[i]]){
swap(u[i],v[i]);
}
else if(u[i]>v[i]&&d[u[i]]==d[v[i]]){
swap(u[i],v[i]);
}
G[u[i]].push_back(v[i]);
}
for(int u=1;u<=n;u++){
for(int v:G[u]){
vis[v]=1;
}
for(int v:G[u]){
for(int x:G[v]){
ans+=vis[x];
}
}
for(int v:G[u]){
vis[v]=0;
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
三维偏序
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int M=2e5+10;
int n,m,cnt,k;
struct node{
int a,b,c,cnt,ans;
bool operator!=(node x){
if(a!=x.a)return 1;
if(b!=x.b)return 1;
if(c!=x.c)return 1;
return 0;
}
};
node e[N],f[N];
int ans[N];
int t[M];
void add(int x,int v){
for(;x<=k;x+=x&(-x))t[x]+=v;
}
int qry(int x){
int ans=0;
for(;x;x-=x&(-x)){
ans+=t[x];
}
return ans;
}
bool cmp(node x,node y){
if (x.a!=y.a)return x.a<y.a;
if (x.b!=y.b)return x.b<y.b;
return x.c<y.c;
}
bool cmp2(node x,node y){
if (x.b!=y.b)return x.b<y.b;
return x.c<y.c;
}
void cdq(int l,int r){
if(l==r)return;
int mid=(l+r)>>1;
cdq(l,mid);
cdq(mid+1,r);
sort(f+l,f+mid+1,cmp2);
sort(f+mid+1,f+r+1,cmp2);
int i=l,j=mid+1;
while(j<=r){
while(i<=mid&&f[i].b<=f[j].b){
add(f[i].c,f[i].cnt);
i++;
}
f[j].ans+=qry(f[j].c);
j++;
}
for(int k=l;k<i;k++)add(f[k].c,-f[k].cnt);
return;
}
int main(){
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>e[i].a>>e[i].b>>e[i].c;
}
sort(e+1,e+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++){
cnt++;
if(e[i]!=e[i+1]){
m++;
f[m].a=e[i].a;
f[m].b=e[i].b;
f[m].c=e[i].c;
f[m].cnt=cnt;
cnt=0;
}
}
cdq(1,m);
for(int i=1;i<=m;i++)ans[f[i].ans+f[i].cnt-1]+=f[i].cnt;
for(int i=0;i<n;i++)cout<<ans[i]<<"\n";
return 0;
}
差分约束
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e3+10;
int n,m;
int a,b,c;
#define pii pair<int,int>
vector<pii>G[N];
int d[N],cnt[N];
bool vis[N];
queue<int>q;
bool spfa(int s){
memset(d,0x3f,sizeof(d));
memset(vis,0,sizeof(vis));
d[s]=0;
q.push(s);
vis[s]=1;
cnt[s]++;
while(!q.empty()){
int u=q.front();
q.pop();
vis[u]=0;
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i].first;
int w=G[u][i].second;
if(d[v]>d[u]+w){
d[v]=d[u]+w;
if(!vis[v]){
q.push(v);
vis[v]=1;
cnt[v]++;
if(cnt[v]>n)return 0;
}
}
}
}
return 1;
}
int main(){
cin>>n>>m;
while(m--){
cin>>a>>b>>c;
G[b].push_back(make_pair(a,c));
}
for(int i=1;i<=n;i++){
G[0].push_back(make_pair(i,0));
}
if(!spfa(0)){
cout<<"NO";
return 0;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<d[i]<<" ";
}
return 0;
}
最长不升子序列长度
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
#define ll long long
int t,a[N],n;
int f[N],ans;
void pre(){
ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=inf;
reverse(a+1,a+n+1);
}
int main(){
while(cin>>t&&t!=EOF)a[++n]=t;
pre();//初始化
for(int i=1;i<=n;i++){
int l=1,r=i;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(f[mid]>a[i])r=mid;
else l=mid+1;
}
f[l]=min(f[l],a[i]);
ans=max(ans,l);
}
cout<<ans<<"\n";pre();
for(int i=1;i<=n;i++){
int l=1,r=i;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(f[mid]>=a[i])r=mid;
else l=mid+1;
}
f[l]=min(f[l],a[i]);
ans=max(ans,l);
}
cout<<ans;
return 0;
}
封装写法
把原来要用东西全部塞进一个你命名的 struct 里，源代码 copy 进去然后增加一个构造函数，一些地方可能稍微更改，例如线段树固定长度的数组可以换成可变大小的 vector，下面是构造函数的示例。
Seg(int _n):n(_n),t(4*_n+1){}
/*_n是建立时要传递的量，比如建立线段树需要事先确定
大小，建立方式： Seg 树名字(大小)
*/
基环树找环
正常 dfs 再判断一个深度就行了，如果儿子深度小于父亲就是环。
pbds
下面展示平衡树的建造和使用方式省流。更详细移步 https://www.luogu.com.cn/article/tk8rh0c9 。
建立方式
#include<bits/extc++.h>
//不可以用万能头替代它,这是pbds专属万能头
//但是devc++用不了
#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
//这个可以用，一般写这个头文件
using namespace __gnu_pbds;
template<typename T>
using Tree=tree<T,null_type,less<T>,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update>;
//下面需要用的时候就写这一行
//Tree<类型>变量名，例：
Tree<pair<int,int> >a;
Tree<int>b;
假如这棵树名字为 A。
1.插入一个数(会自动去重和排序)
A.insert(x);
2.找到第p个元素
int x=*A.find_by_order(p);
//x为第p个元素的值
int l=A.find_by_order(p);
//l为第p个元素下标
3.删除值为x的所有数
A.erase(x)
4. 查询数值严格小于x的最大下标
int l=A.order_of_key(x);
//以上x皆可以改成 pair 类型
5.其他
!A.empty()//可以判断是否为空
set&multiset
二者唯一区别在于：set 不可重，multiset 可重。
建立方式
set<int>s;
set<int>s{0,x}的作用是创建一个名为s的整数集合，
并且往其中添加两个初始元素，即0和变量x的值
使用
set 提供了以下几种迭代器：
begin() 返回指向首元素的迭代器。
end() 返回指向数组尾端占位符的迭代器，注意是没有元素的。
rbegin() 返回指向逆向数组的首元素的逆向迭代器，
可以理解为正向容器的末元素。
insert(x) 当容器中没有等价元素的时候，
将元素 x 插入到 set 中。
erase(x) 删除值为 x 的所有元素，返回删除元素的个数。
erase(pos) 删除迭代器为 pos 的元素，要求迭代器必须合法。
erase(first,last) 删除迭代器在 [first,last) 范围
内的所有元素。
clear() 清空 set。
count(x) 返回 set 内键为 x 的元素数量。
find(x) 在 set 内存在键为 x 的元素时会返回该元素的迭代器，
否则返回 end()。
lower_bound(x) 返回指向首个不小于给定键的元素的迭代器。
如果不存在这样的元素，返回 end()。
upper_bound(x) 返回指向首个大于给定键的元素的迭代器。
如果不存在这样的元素，返回 end()。
empty() 返回容器是否为空。
size() 返回容器内元素个数。
高斯消元
https://www.luogu.com.cn/problem/P2455
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define db double
#define For(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
const db eps=1e-7;
int n;
const int N=110;
db a[N][N];
int main(){
cin>>n;
For(i,1,n)For(j,1,n+1)cin>>a[i][j];
int rk=1;
For(j,1,n){
int mx=0;
For(i,rk,n){
if(fabs(a[i][j])>fabs(a[mx][j])){
mx=i;
}
}
if(fabs(a[mx][j])<eps)continue;
For(k,1,n+1)swap(a[rk][k],a[mx][k]);
double t=a[rk][j];
For(k,j,n+1)a[rk][k]/=t;
For(i,1,n){
if(i==rk)continue;
double t=a[i][j];
For(k,j,n+1)a[i][k]-=a[rk][k]*t;
}
rk++;
}
For(i,rk,n){
if(fabs(a[i][n+1])>eps){
cout<<-1;
return 0;
}
}
if(rk<=n){cout<<0;return 0;}
for(int i=n;i>=1;i--){
For(j,i+1,n){
a[i][n+1]-=a[i][j]*a[j][n+1];
}
}
For(i,1,n){
cout<<"x"<<i<<"=";
cout<<fixed<<setprecision(8)<<a[i][n+1]<<"\n";
}
return 0;
}
【模板】离线二维数点
https://www.luogu.com.cn/problem/P10814
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define ll long long
#define For(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
int n,m;
const int N=2e6+10;
int a[N];
struct node{
int x,id,val;
};
vector<node>G[N];
int t[N],ans[N];
void add(int x,int v){
for(;x<=n;x+=x&(-x))t[x]+=v;
}
ll qry(int x){
int res=0;
for(;x;x-=x&(-x))res+=t[x];
return res;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
For(i,1,n)cin>>a[i];
For(i,1,m){
int l,r,x;cin>>l>>r>>x;
G[l-1].pb({x,i,-1});
G[r].pb({x,i,1});
}
For(i,1,n){
add(a[i],1);
For(j,0,(int)G[i].size()-1){
node t=G[i][j];
ans[t.id]+=t.val*qry(t.x);
}
}
For(i,1,m)cout<<ans[i]<<"\n";
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号