一些值得记录的题目和自己的思考

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高数

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反常积分 无穷限与无界并存

\[\int_{0}^{+∞} \frac{dx}{\sqrt{x(x+1)^3}} \]

解：积分上限为 \(+∞\) ,且 \(x=0\) 为瑕点

令 \(t=\sqrt{x},x=t^2,dx=2tdt\)

\(x:0^+\longrightarrow+∞，t:0^+\longrightarrow+∞\)

\(\int_{0}^{+∞}\frac{dx}{\sqrt{x(x+1)^3}}=\int_{0}^{+∞}\frac{2tdt}{t(t^2+1)^\frac{3}{2}}=2\int_{0}^{+∞}\frac{dt}{(t^2+1)^\frac{3}{2}}\)

令 \(t=tanu,u=arctant,dt=sec^2udu\)

\(t:0^+\longrightarrow+∞，u:0^+\longrightarrow\frac{\pi}{2}\)

原式 \(=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sec^2udu}{sec^3u}=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosudu=2[cosu]_0^\frac{\pi}{2}=2\)