POJ 2728 Desert King ★(01分数规划介绍 && 应用の最优比率生成树)
【题意】每条路径有一个 cost 和 dist,求图中 sigma(cost) / sigma(dist) 最小的生成树。
标准的最优比率生成树,楼教主当年开场随手1YES然后把别人带错方向的题Orz……
♦01分数规划
参考Amber-胡伯涛神牛的论文《最小割模型在信息学竞赛中的应用》°定义
分数规划(fractional programming)的一般形式: Minimize λ = f(x) = a(x) / b(x) ( x∈S && ∀x∈S, b(x) > 0 ) 其中,解向量x在解空间S内, a(x)与b(x)都是连续的实值函数。 分数规划的一个特例是0-1分数规划(0-1 fractional programming),就是其解向量x满足∀xi∈{0,1}(这就是所谓的0-1)。形式化定义如下: Minimize λ = f(x) = a•x / b•x = sigma(a*x) / sigma(b*x) ( x∈{0,1}^n && b•x > 0 ) 并且对解向量x可能还有其他的组合限制,这些针对解向量x的不同限制也就有了01分数规划的不同模型:比如最优比率生成树、最优比率生成环、最优比率割……°解法
假设我们已经知道了最终答案λ,那么方程就可以写为: sigma(ax*) = sigma(bx*)•λ, 即sigma(ax*) - sigma(bx*)•λ = 0 令g(λ) = min(x∈S){ sigma(ax) - λ•sigma(bx) }, 易知该函数单调递减,且设*λ为该规划的最优解,则 g(λ) = 0 ⇔ λ = *λ g(λ) > 0 ⇔ λ < *λ g(λ) < 0 ⇔ λ > *λ 所以我们就可以二分枚举λ,然后判断g(λ)是否等于0……而g(λ)的计算要根据不同模型(即对x的不同限制)具体解决。 【Dinkelbach迭代算法】 不同于刚才的二分枚举,算法采用牛顿迭代的方式来求λ。 ①初始设λ0 = 0 ②计算g(λ0),并且得到最优解*x ③计算*λ = a•*x / b•*x, 如果*λ = λ0,算法结束;否则令λ0 = *λ,继续步骤②. 迭代比二分速度快很多,而且不用考虑二分的上界。 【最优比率生成树解法】 我们回到此题,就比如此题的最优比率生成树,二分枚举λ,那么就判断g(λ) = min(x∈S){ (cost-λ*dist)•x }是否等于0. 而计算g(λ)就是把原图中的每条边的权值都改为cost-λ*dist,然后求最小生成树即可.#include
#include
//精度模板
const double eps = 1e-4;
bool dd(double x,double y) { return fabs( x - y ) < eps;} // x == y
const int MAXV = 1003;
struct village{
double x,y,z;
}v[MAXV];
double len[MAXV][MAXV];
double cost[MAXV][MAXV];
double dist[MAXV];
int pre[MAXV];
int n;
double prim(double r){
bool vis[MAXV] = {0};
double csum = 0.0, lsum = 0.0;
dist[1] = 0.0;
vis[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++){
dist[i] = cost[1][i] - r * len[1][i];
pre[i] = 1;
}
for (int p = 2; p <= n; p ++){
double minx = 99999999.0;
int u = -1;
for (int i = 1; i <= n; i ++){
if (!vis[i] && minx > dist[i]){
minx = dist[i];
u = i;
}
}
if (u == -1) break;
vis[u] = 1;
csum += cost[pre[u]][u];
lsum += len[pre[u]][u];
for (int i = 2; i <= n; i ++){
if (vis[i]) continue;
double w = cost[u][i] - r * len[u][i];
if (dist[i] > w){
dist[i] = w;
pre[i] = u;
}
}
}
return csum / lsum;
}
int main(){
//freopen("test.in", "r", stdin);
//freopen("test.out", "w", stdout);
while(scanf("%d", &n), n){
for (int i = 1; i <= n; i ++){
scanf("%lf %lf %lf", &v[i].x, &v[i].y, &v[i].z);
}
for (int i = 1; i <= n; i ++){
for (int j = i+1; j <= n; j ++){
len[i][j] = len[j][i] = sqrt((v[i].x-v[j].x)*(v[i].x-v[j].x)+(v[i].y-v[j].y)*(v[i].y-v[j].y));
cost[i][j] = v[i].z - v[j].z;
cost[j][i] = cost[i][j] = cost[i][j] < 0 ? -cost[i][j] : cost[i][j];
}
}
double a = 0, b;
while(1){
b = prim(a);
if (dd(b, a)){
break;
}
a = b;
}
printf("%.3f\n", a);
}
return 0;
}
举杯独醉,饮罢飞雪,茫然又一年岁。 ------AbandonZHANG