数列极限证明

证明极限：\(\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) 存在

根据单调有界准则，需要证明单调性及有界性

单调性证明：

我们需要证明：\((1+\frac{1}{n})^n\) 跟 \((1+\frac{1}{n+1})^{(n+1)}\) 的大小关系

根据不等式：\(a_1*a_2*a_3*...*a_n <= (\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n})^n\)

那么 \((1 + \frac{1}{n})^n\) 可以写成 \((1 + \frac{1}{n})*(1 + \frac{1}{n})*...*(1 + \frac{1}{n})\)

根据不等式得：\((1 + \frac{1}{n})*(1 + \frac{1}{n})*...*(1 + \frac{1}{n}) <= (\frac{n+1}{n})^n\)

那么如果在展开式后面再乘以一个一：\((1 + \frac{1}{n})*(1 + \frac{1}{n})*...*(1 + \frac{1}{n})*1\)

不等式变为：\((1 + \frac{1}{n})*(1 + \frac{1}{n})*...*(1 + \frac{1}{n})*1 < (\frac{n+1+1}{n+1})^{(n+1)} = (1+\frac{1}{n+1})^{(n+1)}\)

所以：\((1+\frac{1}{n})^n < (1+\frac{1}{n+1})^{(n+1)}\)

数列单调递增；

有界性证明：

在式子前乘以 \(\frac{1}{4}\) 得：

\((1 + \frac{1}{n})*(1 + \frac{1}{n})*...*(1 + \frac{1}{n})*\frac{1}{2}*\frac{1}{2} < (\frac{n+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{n+2})^{(n+2)} = (1)^{(n+2)} = 1\)

所以：\((1+\frac{1}{n})^n <= 4\)

即数列有上界。

综上：\((1+\frac{1}{n})^n\) 单调递增并且有上界，所以 \(\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) 存在