CF1045F Shady Lady【结论，计算几何】

给定 \(n\) 个形如 \(x^ay^b\) 的项，Ani 先删去至多一项，Borna 再填正整数系数，当多项式有下界时 Borna 赢，否则 Ani 赢，求谁赢。

\(n\le 2\cdot 10^5\)，\(0\le a,b\le 10^9\)。

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称一堆单项式有下界当且仅当可以填正整数系数，使得该多项式有下界。

题目实际上是给定一堆单项式，求是否可以删去至多一项使得没有下界。

引理：一堆单项式有下界 \(\Leftrightarrow\) 将每一项 \(x^ay^b\rightarrow(a,b)\) 画在平面上，带上原点 \((0,0)\) 组成的点集的凸包的所有顶点的横纵坐标均为偶数。

证明：先考虑 \(\Leftarrow\)，设 \(P_1,P_2,\cdots,P_m\) 是凸包顶点，则对于任意凸包内部整点 \(Q(a,b)\)，存在有理数 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_m\) 满足 \(\alpha_i\ge 0\)，\(\sum\alpha_i=1\)，\(Q=\sum\alpha_iP_i\)，则根据加权算术-几何平均不等式，\(\sum\alpha_ix^{P_i.a}y^{P_i.b}=\sum\alpha_i(x^2)^{P_i.a/2}(y^2)^{P_i.b/2}\ge\prod((x^2)^{P_i.a/2}(y^2)^{P_i.b/2})^{\alpha_i}=(x^2)^{a/2}(y^2)^{b/2}=|x^ay^b|\)，由此可得令凸包顶点的系数为 \(n\)，内部点的系数为 \(1\) 时多项式有下界，得证。

再考虑 \(\Rightarrow\)，设凸包顶点 \(P_k\) 的横纵坐标不全为偶数，不妨设横坐标为奇数。设凸包在 \(P_k\) 处的法向量为 \((p,q)\)，则在所有 \(P_i\) 的 \(pa+qb\) 中 \(P_k\) 是唯一最值，若为最小值则将 \(p,q\) 取反，此时 \(p\cdot P_k.a+q\cdot P_k.b>p\cdot 0+q\cdot 0=0\)，所以令 \(x=-t^p,y=t^q,t\rightarrow+\infty\) 时多项式的值 \(\rightarrow-\infty\)，得证。

于是问题转化为给定点集问是否可以删去至多一个点，使得凸包上至少有一个点横纵坐标有至少一个是奇数。

官方题解给了个神奇做法：先求出凸包，然后给凸包顶点（除原点）交替染黑白色，分别对不是黑/白色的点求凸包，如果有一个有横纵坐标有奇数的顶点，那么 Ani 赢（可以），否则 Borna 赢。

至于证明，因为没给所以不会，感性理解就是若不删点就满足要求则显然正确，否则看得到的奇数顶点，至少且只需要删掉现有凸包顶点的一个区间，此时满足做法中判断的条件就说明只需要删去一个点，也是正确的。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 200003;
template<typename T>
void rd(T &x){
	int ch = getchar(); x = 0;
	for(;ch < '0' || ch > '9';ch = getchar());
	for(;ch >= '0' && ch <= '9';ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
}
int n, m, tp, h[N], p[N];
struct Node {
	int x, y, c;
	Node(int _x = 0, int _y = 0, int _c = 0): x(_x), y(_y), c(_c){}
	Node operator-(const Node &o) const {return Node(x-o.x, y-o.y);}
	bool operator<(const Node &o) const {return x<o.x || x==o.x && y<o.y;}
	LL operator*(const Node &o) const {return (LL)x*o.y-(LL)y*o.x;}
	operator bool() const {return (x|y)&1;}
} a[N];
void work(int *h){
	tp = 0;
	for(int i = 0;i <= n;++ i) if(a[i].c != 1){
		while(tp > 1 && (a[i]-a[h[tp]])*(a[h[tp]]-a[h[tp-1]])>=0) --tp;
		h[++tp] = i;
	} int tmp = tp;
	for(int i = n-1;~i;-- i) if(a[i].c != 1){
		while(tp > tmp && (a[i]-a[h[tp]])*(a[h[tp]]-a[h[tp-1]])>=0) --tp;
		h[++tp] = i;
	}
}
int main(){
	rd(n);
	for(int i = 1;i <= n;++ i){
		rd(a[i].x); rd(a[i].y);
	} sort(a, a+n+1);
	work(p); m = tp;
	for(int i = 2;i < tp;++ i) if(a[p[i]]){puts("Ani"); return 0;}
	for(int i = 2;i < m;++ i) a[p[i]].c = 2 - (i&1);
	work(h);
	for(int i = 2;i < tp;++ i) if(a[h[i]]){puts("Ani"); return 0;}
	for(int i = 2;i < m;++ i) a[p[i]].c = 1 + (i&1);
	work(h);
	for(int i = 2;i < tp;++ i) if(a[h[i]]){puts("Ani"); return 0;}
	puts("Borna");
}