UVa 1649 Binomial coefficients 数学

题意:

\(C(n, k) = m(2 \leq m \leq 10^{15})\),给出\(m\)求所有可能的\(n\)\(k\)

分析:

\(minK = min(k, n - k)\),容易看出\(minK\)的值绝对不会太大。
因为\(n \geq 2minK\),经过简单的计算可以知道\(minK\)不超过\(26\)
所以,可以枚举\(minK\),二分\(n\)来求解,二分的范围是\([minK,m]\)

二分的过程中需要比较\(C(n,k)\)\(m\)的大小,因为\(C(n,k)\)可能会太大超过\(long \, long\)的范围,不能直接计算。
所以可以做除法来比较,\(C(n,k)=\prod\limits _{i=1}^k \frac{n-i+1}{i}\)
\(m\)逐个去除以\(\frac{n-i+1}{k}\),如果过程中变为了\(0\),说明\(C(n,k)>m\)
否则\(C(n,k)\)\(long \, long\)的范围,可以直接计算去比较。

  • 还想到一种(没卵用)优化:

因为\(C(m,1)\)\(C(m,m-1)\)是显然的一组解,直接加到答案里就好了。
可以从\(minK=2\)开始枚举,\(C(n,2)=\frac{n(n-1)}{2}=m\)
所以如果有解的话,\(n\)的取值大概在\(\sqrt{2m}\)附近,减少了大概一半的二分次数。
进一步\(minK=3\)的话,\(n\)的范围就更小了,从这个角度我们也可以验证解不会太多。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <utility>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;

vector<PLL> ans;

int cmp(LL n, int k, LL m) {
    LL C = 1;
    for(int i = 1; i <= k; i++) {
        if(m * i / (n - i + 1) / C == 0) return 1;
        C = C * (n - i + 1) / i;
    }
    return C == m ? 0 : -1;
}

void output(const PLL& x) {
    printf("(%lld,%lld)", x.first, x.second);
}

int main()
{
    int T; scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        LL m; scanf("%lld", &m);
        ans.clear();
        ans.push_back(make_pair(m, 1LL));
        ans.push_back(make_pair(m, m - 1LL));
        for(int i = 2; i <= 30; i++) {
            LL L = i, R = m;
            while(L <= R) {
                LL mid = (L + R) / 2;
                int c = cmp(mid, i, m);
                if(c == 0) {
                    ans.push_back(make_pair(mid, i));
                    ans.push_back(make_pair(mid, mid - i));
                    break;
                } else if(c == 1) R = mid - 1;
                else L = mid + 1;
            }
        }
        sort(ans.begin(), ans.end());
        ans.resize(unique(ans.begin(), ans.end()) - ans.begin());
        printf("%d\n", ans.size());
        if(!ans.empty()) output(ans[0]);
        for(int i = 1; i < ans.size(); i++) {
            printf(" "); output(ans[i]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}
posted @ 2016-07-17 19:47  AOQNRMGYXLMV  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏