51NOD 1244 莫比乌斯函数之和

题意：

输入两个整数\(a,b(2 \leq a \leq b \leq 10^{10})\)
求莫比乌斯函数\(\mu (n)\)在区间\([a,b]\)之和，即\(\sum\limits_{i=a}^{b} \mu(i)\)

分析：

一个引理：\(n > 1\)时，有\(\sum\limits_{d|n} \mu(d) = 0\)成立。
证明：

我们将\(n\)分解为\(n=\prod\limits_{i=1}^{k} p_{i}^{e_{i}}\)，\(n\)一共有\(k\)个不同的素因子。
只考虑\(n\)的不含平方数的因子\(d=\prod\limits_{i=1}^{r} p_{i}^{e_{i}}\)，它含有\(r\)个不同的素因子，根据莫比乌斯函数的定义有\(\mu(d)=(-1)^r\)。
\(\sum\limits_{d|n} \mu(d)=1-\binom{k}{1}+\binom{k}{2} \cdots +(-1)^k \binom{k}{k}=(1-1)^k=0\)
证毕。

设\(\mu(n)\)的前缀和为\(M(n)=\sum\limits_{i \leq n} \mu(i)\)。

那么有等式：

\(\sum\limits_{1 \leq k \leq n} M(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor) = 1\)

成立。

证明：
\(\sum\limits_{1 \leq k \leq n} M(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor) = \sum\limits_{1 \leq k \leq n} \sum\limits_{1 \leq ik \leq n} \mu(i)=\sum\limits_{1 \leq j \leq n}\sum\limits_{i|j}\mu(\frac{j}{i})\)

当\(i\)取遍\(j\)的所有约数的时候，\(\frac{j}{i}\)同样取遍\(j\)的所有约数。

所以\(\sum\limits_{1 \leq j \leq n}\sum\limits_{i|j}\mu(\frac{j}{i})=\sum\limits_{1 \leq j \leq n}\sum\limits_{i|j}\mu(i)\)

根据上面的引理，对于\(2 \leq j \leq n\)，\(\sum\limits_{i|j}\mu(i)=0\)。

所以\(\sum\limits_{1 \leq j \leq n}\sum\limits_{i|j}\mu(i)=\mu(1)=1\)

我们可以根据这个式子递归计算\(M(n)\)了。
具体代码实现的时候还有两点优化的地方：

• \(M(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor)\)值相同的\(k\)有多个，可以用区间分块加速。
• 为了避免重复计算，可以用哈希来实现记忆化递归。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 20000000;
const int MOD = 2333333;
const int maxp = 1300000;

int pcnt, prime[maxp];
short mu[maxn];
bool vis[maxn];

struct Hash
{
	long long key;
	int val, nxt;
};

Hash slot[MOD];
int cnt, head[MOD];

void preprocess() {
	mu[1] = 1;
	for(int i = 2; i < maxn; i++) {
		if(!vis[i]) {
			mu[i] = -1;
			prime[pcnt++] = i;
		}
		for(int j = 0; j < pcnt && i * prime[j] < maxn; j++) {
			vis[i * prime[j]] = true;
			if(i % prime[j] != 0) mu[i * prime[j]] = -mu[i];
			else {
				mu[i * prime[j]] = 0;
				break;
			}
		}
	}

	for(int i = 2; i < maxn; i++) mu[i] += mu[i-1];
}

void insert(long long key, int val) {
	int ha = key % MOD;
	slot[++cnt].key = key;
	slot[cnt].val = val;
	slot[cnt].nxt = head[ha];
	head[ha] = cnt;
}

int M(long long n) {
	if(n < maxn) return mu[n];
	int ha = n % MOD;
	for(int i = head[ha]; i; i = slot[i].nxt) {
		if(slot[i].key == n) return slot[i].val;
	}
	int ans = 0;
	for(LL i = 2, j; i <= n; i = j + 1) {
		j = n / (n / i);
		ans += (j - i + 1) * M(n / i);
	}
	ans = 1 - ans;
	insert(n, ans);
	return ans;
}

int main()
{
	preprocess();
	long long a, b;
	while(cin >> a >> b) {
		printf("%d\n", M(b) - M(a-1));
	}

	return 0;
}