Luogu P13564「CZOI-R5」奶龙

题目分析

本题要求我们构造一个 $n$ 个点的有向图，满足以下几个核心条件：

图的结构：每个点的出度都恰好为 $1$，且图中没有自环。
- 一个所有点出度均为 $1$ 的有向图，通常被称为功能图 (functional graph)。在这种图中，每个节点 $u$ 都有一个唯一的后继节点 $v$（即边 $u \to v$）。
- 从任意一个点出发，沿着边一直走，最终必然会进入一个环。整个图的结构就是由若干个互不相连的组件构成，每个组件都是一个环，以及若干个以环上节点为根的、方向指向环的树。
- “不得有自环”意味着环的长度至少为 $2$。
奶龙的移动：奶龙从给定的 $m$ 个起始点 $A_i$ 出发，每次行动沿着有向边移动一步。
覆盖条件：
- 恰好 $k$ 次行动后：所有 $n$ 个点都被至少一只奶龙访问过。
- 恰好 $k-1$ 次行动后：至少有一个点未被任何奶龙访问过。

这两个覆盖条件是本题的关键。它们共同描述了一个“临界状态”：在第 $k$ 次行动时，恰好访问到了全图中最后几个未被访问过的点。

设 $V_t$ 表示所有奶龙经过 $t$ 次行动后访问过的节点的集合（包含起始点，即 $t=0$ 的情况）。题目要求我们构造图，使得：$ |V_{k-1}| < n $ 且 $ |V_k| = n $。

核心思路与构造策略

面对一个构造题，我们通常希望将复杂的、可能互相交错的情况（如此处多个奶龙的路径可能重叠）转化为一个简单、清晰、易于分析的模型。

一个自然的想法是，让不同奶龙的路径尽可能不要重叠，以便我们能清晰地计算出被访问节点的数量。我们可以设计一个“中心辐射”或“多链汇合”式的结构。

具体策略如下：

选定一个“中心点”：我们从 $m$ 个奶龙的起始点中任选一个，比如 $A_1$，作为所有路径最终的汇合点。
为每只奶龙构建路径：对于每只奶龙（包括从 $A_1$ 出发的那只），我们都尝试为它构建一条由全新节点组成的、长度为 $k$ 的路径。这里的“全新节点”指的是除 $m$ 个起始点 $A_i$ 之外的 $n-m$ 个点，我们称它们为“自由节点”。
路径连接：
- 对于从 $A_i$ 出发的奶龙，我们构建路径 $A_i \to v_{i,1} \to v_{i,2} \to \dots \to v_{i,k}$，其中 $v_{i,j}$ 都是自由节点。
- 为了满足“所有点出度为 1”的条件，路径的终点 $v_{i,k}$ 也需要一条出边。我们将它连接到我们选定的中心点 $A_1$。这样，所有路径最终都会汇入一个以 $A_1$ 为一部分的结构中。
- 通过这种方式，从 $A_1$ 出发的路径 $A_1 \to v_{1,1} \to \dots \to v_{1,k}$ 的终点 $v_{1,k}$ 也连接回 $A_1$，形成了一个长度为 $k+1$ 的环。其他所有路径最终都会进入这个主环。
处理所有节点：我们需要使用所有的 $n-m$ 个自由节点来构建这些路径。如果 $n-m$ 个自由节点不足以给每只奶龙都分配 $k$ 个新节点，我们就尽力分配。如果分配完所有自由节点后，某些奶龙的路径长度不足 $k$，这也是允许的。只要我们能保证至少有一条路径的长度恰好为 $k$，就能满足题目的临界条件。

这种构造方法的好处是：

结构清晰：图的形态是若干条链，全部汇入一个主环。
满足出度为 1：每条链上的中间节点，出度和入度都为1。链的起点（$A_i$）和终点（连接到 $A_1$）也都有了出边。所有未被用到的自由节点（如果有的话）也可以直接连向 $A_1$，以满足出度为1的条件。（虽然在最终的代码实现中，所有自由节点都会被用上）。
满足访问条件：只要我们能构造出一条长度为 $k$ 的“新节点”链，那么这条链的第 $k$ 个节点就一定是在第 $k$ 步才首次被访问。这就满足了 $|V_{k-1}| < n$ 的条件。同时，只要我们构造的路径覆盖了所有 $n$ 个节点，$|V_k|=n$ 的条件也能被满足。

无解情况分析

在尝试构造之前，我们需要判断在哪些情况下是无解的。

**无解条件 1：`n > m * (k + 1)`**

含义：节点总数 $n$ 大于 $m$ 只奶龙在 $k$ 步内所能访问到的最大节点数。
分析：
- 一只奶龙，从它的起始点出发，经过 $k$ 次行动，最多能访问 $k+1$ 个不同的节点（即它自己和路径上的 $k$ 个新节点）。
- $m$ 只奶龙，即使它们的路径完全不重叠（这是最理想的情况），在 $k$ 步内总共最多能访问 $m \times (k+1)$ 个节点。
- 如果总节点数 $n$ 超过了这个理论上限，那么无论如何构造图，都不可能在 $k$ 步内访问到所有节点。
- 因此，若 $n > m(k+1)$，则必定无解。

无解条件 2：`n - m < k`

含义：“自由节点”的数量少于 $k$。
分析：
- 题目的核心要求是，在第 $k$ 步恰好完成了全图的覆盖，这意味着必须存在某个节点 $u$，它在第 $k-1$ 步及以前从未被访问，而在第 $k$ 步被首次访问。
- 要实现这一点，必须存在一条路径，形如 $A_i \to v_1 \to v_2 \to \dots \to v_{k-1} \to u$。为了保证 $u$ 是在第 $k$ 步首次被访问，这条路径上的 $k+1$ 个点（$A_i, v_1, \dots, v_{k-1}, u$）必须是独特的。更具体地说，路径上的 $v_1, \dots, v_{k-1}, u$ 这 $k$ 个节点必须是“新”的，即它们不能是任何奶龙的起始点 $A_j$。
- 这些“新”节点只能从 $n-m$ 个自由节点中选取。
- 因此，为了能构造出这样一条长度为 $k$ 的“新”路径，我们至少需要 $k$ 个自由节点。
- 如果自由节点的数量 $n-m$ 小于 $k$，那么任何一只奶龙从起点出发，走不到 $k$ 步就会用尽所有自由节点，被迫走向一个已经被访问过的节点（某个 $A_j$ 或其他路径上的点）。在这种情况下，全图所有节点最晚在第 $n-m$ 步就会被全部访问。因为 $k > n-m$，所以在第 $k-1$ 步时，所有节点早已被访问完毕，这与题目条件 $|V_{k-1}| < n$ 矛盾。
- 因此，若 $n-m < k$，则必定无解。

如果上述两个无解条件都不满足，我们就可以用之前提出的策略构造出一组解。

代码实现详解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
const LL N = 2e5 + 5;
LL a[N];
bitset<N> used; // 使用 bitset 标记节点是否为奶龙起始点，空间和时间效率高

int main() {
    LL n, m, k;
    scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &k);

    // 读入 m 个起始点，并用 bitset 标记
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%lld", a + i);
        used[a[i]] = 1;
    }

    // 判断无解情况
    if (n > m * (k + 1) || n - m < k) {
        printf("-1\n");
        return 0;
    }

    // ind 是一个指针，用于寻找下一个可用的“自由节点”
    LL ind = 1; 

    // 遍历 m 只奶龙，为它们构建路径
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        // cur 是当前路径的末端节点，len 是当前为这只奶龙构建的链的长度
        LL cur = a[i], len = 0; 
        
        // 尝试为当前奶龙构建一条长度为 k 的新节点链
        // 同时要保证还有可用的自由节点 (ind <= n)
        while (len < k && ind <= n) {
            // 如果 ind 指向的节点不是起始点，就用它来延长路径
            if (!used[ind]) {
                // 构建边：cur -> ind
                printf("%lld %lld\n", cur, ind);
                // 更新路径末端和已构建的长度
                cur = ind;
                len++;
            }
            // 无论 ind 是否被使用，都后移，寻找下一个候选节点
            ind++;
        }
        
        // 当循环结束时，有几种可能：
        // 1. len == k：成功构建了长度为 k 的链。
        // 2. ind > n：所有自由节点都用完了，链的长度可能小于 k。
        // 无论是哪种情况，当前路径的末端 cur 都需要一条出边。
        // 我们将它统一连接到 a[1] (第一个奶龙的起始点)
        printf("%lld %lld\n", cur, a[1]);
    }

    // 此时，所有起始点 a[i] 和所有在链中被用到的自由节点都有了出边。
    // 我们的构造方法保证了 ind 会扫过 1~n，所有 !used[ind] 的节点都会被用上。
    // 这意味着所有 n-m 个自由节点都被编入了某条链中。
    // 因此，所有 n 个节点都有了唯一的出边，构造完成。
    return 0;
}

总结

本题是一道构造型题目，解题的关键在于将复杂的约束转化为一个简单、可控的图结构。通过建立一个“中心辐射”模型（所有路径汇入一个中心点 $A_1$），我们得以清晰地控制奶龙的路径和节点的访问情况。

解题步骤为：

分析题目，理解功能图的结构和“临界访问”的核心要求。
推导出两个必要的无解条件：$n > m(k+1)$（节点总数过多）和 $n-m < k$（自由节点不足以构造出长度为 $k$ 的新路径）。
如果有解，则采用构造法：以 $A_1$ 为中心，为每只奶龙 $A_i$ 贪心地使用未被占用的“自由节点”构建一条路径，并将路径终点统一连接到 $A_1$。
代码实现上，使用一个指针 ind 顺序扫描并分配自由节点，逻辑简单且高效。

这种从特殊要求出发，反向设计出一种能满足要求的、简洁的数学模型，是解决构造类问题的常用思想。

posted @ 2025-08-04 22:42 AFewMoon 阅读(57) 评论(0) 收藏举报

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