Lucas定理
\[\binom{n}{k}=\prod_{i=0}^{m}\binom{n_i}{k_i}\pmod p,k\leq n
\]
其中 \(n=\prod_{i=0}^mn_ip^i,k=\prod_{i=0}^mk_ip^i\)
递归形式
\[\binom{n}{k}\equiv \binom{n \ \mathrm{mod}\ p}{k \ \mathrm{mod}\ p}\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{k}{p}\rfloor}\pmod p\\
p\in \mathrm{Prime},k\leq n
\]
证明：
\[\forall k\in[1,p-1],\\
\binom{p}{k}=\frac{p^{\underline{k}}}{k!}=\frac{(p-1)^{\underline{k-1}}}{(k-1)!}\cdot\frac{p}{k}=\binom{p-1}{k-1}\cdot\frac{p}{k}\equiv 0\pmod p
\]
\[(1+x)^p=\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}x^i=1+x^p+\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{i}x^i\equiv 1+x^p\pmod p
\]
设 \(n=sp+q,k=lp+r\)，\(q,r<p\)，
\[(1+x)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^i
\]
其中的 \(k\) 次项为 \(\binom{n}{k}x^k\)
\[(1+x)^n=(1+x)^{sp+q}=(1+x)^{sp}(1+x)^q=[(1+x)^p]^s(1+x)^q\\
\equiv(1+x^p)^s(1+x)^q\equiv(\sum_{i=0}^s\binom{s}{i}x^{pi})(\sum_{i=0}^q\binom{q}{i}x^i )\\
\equiv\sum_{m=1}^{sp+q}\binom{q}{m\ \mathrm{mod}\ p}\binom{s}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}x^m\pmod p
\]
其中的 \(k\) 次项为
\[\binom{q}{k\ \mathrm{mod}\ p}\binom{s}{\lfloor\frac{k}{p}\rfloor}x^k\equiv\binom{q}{r}\binom{s}{l}x^k\pmod p
\]
因此
\[\binom{n}{k}\equiv\binom{q}{r}\binom{s}{l}\equiv\binom{n \ \mathrm{mod}\ p}{k \ \mathrm{mod}\ p}\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{k}{p}\rfloor}\pmod p
\]
证毕。 \(\square\)
