Codeforces 日常训练1

把近期做的CF题总结一下，会比较简短。

CF618D Hamiltonian Spanning Tree

给定一张 \(n(n\leq 200000)\) 个点的无向完全图，每条边的边权均为 \(y\) 。再给出这张图的一棵生成树，每条树边边权都为 \(x\)，求该图的最短哈密顿路径。

考虑 \(x\) 和 \(y\) 的关系。如果 \(x=y\)，答案为 \((n-1)x\) 。如果 \(x>y\)，则要尽可能多地选不在树上的边，那么如果存在一个点的度数为 \(n-1\)，则说明至少要走一条树边，答案为 \(y(n-2)+x\)，否则可以全不走树边，答案为 \((n-1)y\)。如果 \(x<y\)，说明要尽可能多地走树边，则转化为树的最小路径点覆盖问题，树上dp即可。

CF1436D Bandit in a City

给定以 \(1\) 为根的 \(n(n\leq 2\times 10^5)\) 个节点的一棵树，每个节点上有 \(a_i\) 个人，每个人可以选择往任意子节点走，直到走到叶子节点为止，问最后人最多的叶子节点最少有多少人。

不难发现答案具有单调性。我们可以去二分人最多的叶子节点的人数，然后每次通过一次DFS来判是否合法。

CF1433G Reducing Delivery Cost

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向带权图，你能使一条边的边权权变为 \(0\)，求 \(k\) 组点对间最短路之和最小值。\((n,m,k\leq 1000)\)。

假设我们将 \((x,y)\) 这条边的边权置为 \(0\)，那么从 \(u\) 到 \(v\) 的所有最短路径分为两类：经过 \((x,y)\) 的和不经过 \((x,y)\) 的，可以由此求得新的最短路。因为点数和边数只有 \(1000\)，我们可以从每个点出发跑一次 dijkstra 求得全源最短路，然后枚举置零的边，再求 \(k\) 组点对此时的最短路之和。

CF1433F Zero Remainder Sum

给定 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\)，和一个整数 \(k\)，要求每行只能选取不超过一半的元素，且总的选择元素的和要是 \(k\) 的倍数，求最大值。\((n,m,k\leq 70)\)

根据模 \(k\) 后的值，先每行分别dp一次，求得该行各模数下能选的最大值，然后对所有行dp一次，求得最终答案。

CF1428E Carrots for Rabbits

有 \(n\) 个数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，你可以把一个数进行分割。现在要把这些数恰好分成 \(k\) 份，要求最小化所有数的平方和。\((1\leq n\leq k\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^6)\)。

贪心。如果把一个数 \(x\) 分成 \(k\) 份，最优的分法肯定是分成 \(x\mod k\) 个 \(\lfloor\frac{x}{k}\rfloor+1\) 和 \(k-(x\mod k)\) 个 \(\lfloor\frac{x}{k}\rfloor\)。令 \(f(x,k)\) 表示把 \(x\) 分成 \(k\) 份后最小的平方和，用一个小根堆维护 \(f(x,k+1)-f(x,k)\) 这一差值，每次优先取差值最小的累加进答案。

CF1426F Number of Subsequences

给定一个长为 \(n\) 的含有abc?的字符串,?可能是abc中的任意一个,求所有可能的无?字符串中,子序列abc出现的次数。\((n\leq 2\times 10^5)\)

依次考虑每一个为 ? 或者 b 的字符，钦定它为 abc 的中心，我们分别求出它左边各位置上所有为 a 的方案数，和右边各位置上所有为 b 的方案数，相乘再分别累加即为答案。假设在左边存在 \(p\) 个 a 和 \(n\) 个 ?，那么左边的方案数为 \(\sum_{i=0}^n(p+i)2^{n-i}\binom{n}{i}\)。令 \(f(n,p)=\sum_{i=0}^n(p+i)2^{n-i}\binom{n}{i}\)，\(g(n)=\sum_{i=0}^{n} 2^{n-i}\binom{n}{i}\)，\(h(n)=\sum_{i=0}^{n} i2^{n-i}\binom{n}{i}\)，则 \(f(n,p)=p\cdot g(n)+h(n)\)。而 \(g(n)=3^n,h(n)=3h(n-1)+3^{n-1}\)。右边同理，时间复杂度 \(O(n)\)。

CF1443F Identify the Operations

给一个 \(1\sim n\) 的排列 \(\{a_n\}\)，和选其中 \(k\) 个数的一个排列 \(\{b_k\}\)，初始时序列 \(c\) 为空，第 \(i\) 次操作可以从 \(a\) 中删除一个数 \(a_p\)，若 \(a_{p-1}=b_i\)，则把 \(p-1\) 加入 \(c\)，若 \(a_{p+1}=b_i\)，则把 \(p+1\) 加入 \(c\)，否则不合法。删除 \(a_p\) 后把后面的数全部前移一位。求 \(c\) 的方案数模 \(998244353\)。 \((1\leq k\leq n\leq 200000)\)。

还没构造出的 \(\{b_n\}\) 中的数一定是不能删除的，并且注意到假设我们要取 \(a_p=b_i\) 这个数，那么无论是删除 \(a_{p-1}\) 还是 \(a_{p+1}\)，都对之后选的数的下标没有影响，即对 \(c\) 没有影响。我们只需要每次判断要选的数左右两边是否能被删，分别把答案乘上 \(0,1,2\) 即可，可以用数组模拟链表维护。

CF1445D Divide and Sum

给出 \(2n\) 个数，你要把它任意分成长均为 \(n\) 的两个序列 \(p\) 和 \(q\)，要求 \(p\) 非减，\(q\) 非增，令 \(f(p,q)=\sum_{i=1}^n|p_i-q_i|\)。对于所有的 \(p,q\)，求 \(f(p,q)\) 之和。

注意到绝对值其实是假的，无论怎么分，\(f(p,q)\) 始终等于 \(n\) 个最大的数之和减去 \(n\) 个最小的数之和，那么最终答案只要乘上 \(\binom{2n}{n}\) 即可。

CF1231E Middle-Out

给两个长为 \(n\) 的字符串 \(S,T\)。每次操作可以将 \(S\) 中第 \(i\) 个字符移到开头或结尾。若想要使得 \(S=T\)，求最小操作次数。\((1\leq n\leq 100)\)。

显然答案为 \(n\) 减去 \(S\) 和 \(T\) 的某一子串的最长公共子序列的最大值。那么可以枚举 \(T\) 的子串的开头位置，然后去和 \(S\) 匹配，使用子序列自动机维护，时间复杂度为 \(O(|\Sigma|\cdot|S|+|S|\cdot|T|)\)。