快速莫比乌斯变换 (Fast Mobius Transform, FMT)
子集反演
莫比乌斯变换
莫比乌斯反演
证明：
由
可得
证毕。
合并卷积
定义
称 \(h\) 是 \(f\) 和 \(g\) 的合并卷积。
设 \(\hat h(S)\) 是 \(h(S)\) 的莫比乌斯变换，则
这启发我们计算 \(f\) 和 \(g\) 的合并卷积时，可以先将 \(f\) 和 \(g\) 分别做莫比乌斯变换，然后相乘，得到 \(h\) 的莫比乌斯变换 \(\hat h\)，再对 \(\hat h\) 做莫比乌斯反演，即得到 \(f\) 和 \(g\) 的合并卷积 \(h\)。
快速莫比乌斯变换 (Fast Möbius Transform, FMT)
要求
定义 \(\hat f(S,i)=\sum_{T\subseteq S}f(T)[\{i+1,i+2,\dots,n\}\subseteq T]\)，
那么有 \(\hat f(S,0)=f(S)\)，\(\hat f(S,|S|)=f(\phi)\)。
设集合 \(S\cap \{i\}=\phi\)，
那么 \(\hat f(S\cup \{i\},i)=\hat f(S,i-1)+\hat f(S\cup\{i\},i-1)\)
因为 \(S\cap \{i\}=\phi\)，所以 \(\hat f(S,i)=\hat f(S,i-1)\)
\(\hat f(S,i)\)表示 \(\{i+1,i+2,\dots,n\}\) 一定含于 \(T\)，并且一定没有选 \(i\)，
\(\hat f(S\cup\{i\},i-1)\) 表示 \(\{i+1,i+2,\dots,n\}\) 一定含于 \(T\)，并且一定选了 \(i\)，
那么由加法原理即可知 \(\hat f(S\cup \{i\},i)=\hat f(S,i-1)+\hat f(S\cup\{i\},i-1)\)。
那么我们递推 \(n\) 轮，即可求得 \(\hat f(S)\)。
时间复杂度 \(O(n2^n)\)。
void FMT(int *f){
for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=0;j<(1<<n);++j)
if(j&(1<<i)) f[j]+=f[j^(1<<i)];
}
快速莫比乌斯反演 (IFMT)
跟FMT一样，不断递推，不过变成了减法。
void IFMT(int *f){
for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=0;j<(1<<n);++j)
if(j&(1<<i)) f[j]-=f[j^(1<<i)];
}
子集卷积
定义
称 \(h\) 是 \(f\) 和 \(g\) 的子集卷积。
因为子集卷积和之前的合并卷积不同，要求 \(A\cup B=S, A\cap B=\phi\)，那么设 \(f(i,S)\) 表示集合 \(S\) 有 \(i\) 个元素时的 \(f(S)\)，那么只有 \(f(|S|,S)\) 才是正确的。先对 \(f\) 和 \(g\) 做FMT，然后对做完FMT的 \(f(i,S)\) 和 \(g(j,S)\) 进行暴力卷积，有 \(h(i+j,S)=\sum_{i,j} f(i,S)*g(j,S)\)。最后再进行一次 IFMT，即可求出子集卷积。时间复杂度 \(O(n^22^n)\)。
Code (洛谷 P6097)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RG register int
#define LL long long
template<typename elemType>
inline void Read(elemType &T){
elemType X=0,w=0; char ch=0;
while(!isdigit(ch)) {w|=ch=='-';ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
T=(w?-X:X);
}
#define bitcnt(x) __builtin_popcount(x)
const LL MOD=1000000009LL;
int A[1<<21],B[1<<21];
int a[21][1<<21],b[21][1<<21],c[21][1<<21];
int n,len;
void FMT(int *f,int n){
for(RG i=0;i<n;++i)
for(RG j=0;j<(1<<n);++j)
if(j&(1<<i)) f[j]=(f[j]+f[j^(1<<i)])%MOD;
}
void IFMT(int *f,int n){
for(RG i=0;i<n;++i)
for(RG j=0;j<(1<<n);++j)
if(j&(1<<i)) f[j]=((f[j]-f[j^(1<<i)])%MOD+MOD)%MOD;
}
void Convolution(int n){
for(RG x=0;x<=n;++x){
for(RG i=0;i<=x;++i)
for(RG s=0;s<(1<<n);++s)
c[x][s]=(1LL*c[x][s]+1LL*a[i][s]*b[x-i][s]%MOD)%MOD;
IFMT(c[x],n);
}
}
int main(){
Read(n);len=1<<n;
for(RG i=0;i<len;++i){
Read(A[i]);
a[bitcnt(i)][i]=A[i];
}
for(RG i=0;i<len;++i){
Read(B[i]);
b[bitcnt(i)][i]=B[i];
}
for(RG i=0;i<=n;++i){
FMT(a[i],n);
FMT(b[i],n);
}
Convolution(n);
for(RG i=0;i<len;++i)
printf("%d ",c[bitcnt(i)][i]);
return 0;
}
另一份模板
namespace FMT{
#define bitcnt(x) __builtin_popcount(x)
const int MOD=998244353LL;
const int Base=21;
inline int mo(int x){
if(x>=MOD) x-=MOD;
if(x<0) x+=MOD;
return x;
}
inline int mul(int x,int y){return 1LL*x*y%MOD;}
void FMT(vector<int> &f,int n=Base){
int len=1<<n;
for(RG i=0;i<n;++i)
for(RG j=0;j<len;++j)
if(j&(1<<i)) f[j]=mo(f[j]+f[j^(1<<i)]);
}
void IFMT(vector<int> &f,int n=Base){
int len=1<<n;
for(RG i=0;i<n;++i)
for(RG j=0;j<len;++j)
if(j&(1<<i)) f[j]=mo(f[j]-f[j^(1<<i)]);
}
vector<int> subset_convolution(vector<int> &A,vector<int> &B,int n=Base){
int len=1<<n;
vector<int> H(len);
vector<vector<int> > sH(n+1,vector<int>(len,0)),sA=sH,sB=sH;
for(RG s=0;s<len;++s){
sA[bitcnt(s)][s]=A[s];
sB[bitcnt(s)][s]=B[s];
}
for(RG i=0;i<=n;++i){
FMT(sA[i],n);
FMT(sB[i],n);
for(RG s=0;s<len;++s)
for(RG j=0;j<=i;++j)
sH[i][s]=mo(sH[i][s]+mul(sA[j][s],sB[i-j][s]));
IFMT(sH[i],n);
}
for(RG s=0;s<len;++s)
H[s]=sH[bitcnt(s)][s];
return H;
}
};
