hiho1530(扩展欧几里得求模逆元)

#1530 : 分数取模

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描述

给定三个正整数 a、 b 和 p，满足 b 和 p 互质。这时分数 a / b 除以 p 的余数，即 a / b MOD p 可以定义为 a × b^-1 MOD p。  

其中b^-1 是 b 的逆元，它满足 1 ≤ b^-1 < p 且 b × b^-1 ≡ 1 MOD p，满足上述条件的 b^-1有且仅有一个。  

例如 2^-1 ≡ 4 MOD 7，因为2 × 4 ≡ 1 MOD 7； 3^-1 ≡ 3 MOD 8，因为3 × 3 ≡ 1 MOD 8。  

于是我们可以利用b^-1求出a / b MOD p，例如： 3 / 2 MOD 7 = 3 × 2^-1 MOD 7 = 3 × 4 MOD 7 = 5

给定三个正整数 a、 b 和 p，满足 b 和 p 互质，求 a / b MOD p。  

输入

第一行包含3个正整数，a、b 和 p 满足 b 和 p 互质。  

对于30%的数据，1 ≤ a, b < p ≤ 100

对于80%的数据，1 ≤ a, b < p ≤ 100000  

对于100%的数据，1 ≤ a, b < p ≤ 1000001333

输出

输出 a / b MOD p的值。

样例输入

3 2 7

样例输出

5


分析：a/b MOD p的意思就是（a*b-1）MOD p，这里b-1指的是b关于p的乘法逆元，令x=b-1,
即b*x MOD p=1 ==> b*x=p*y+1 ==> bx+(-py)=1=gcd(b,p),然后用扩展gcd求特解x。

注意：这里b与p互质

摘自维基百科：

模逆元也称为模倒数，或者模逆元。

一整数a对同余n之模逆元是指满足以下公式的整数 b

也可以写成以下的式子

整数 a 对模数 n 之模逆元存在的充分必要条件是 a 和 n 互素，若此模逆元存在，在模数 n 下的除法可以用和对应模逆元的乘法来达成，此概念和实数除法的概念相同。

下面给出扩展gcd求模逆元的代码

#include<cstdio>
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{//求出gcd(a,b)顺带求出一组特解使得ax+by=gcd(a,b) 
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    long long a,b,p,x,y;
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);
    long long r=exgcd(b,p,x,y);
    printf("%lld\n",a*((x+p)%p)%p);
    return 0;
}