[Codeforces]663E Binary Table

  某变换好题。不过听说还有O(2^n*n^2)DP的……

Description

  给定一个n*m的01矩阵,你可以选择对任意行和任意列取反,使得最终“1”的数量尽量少。

Input

  第一行两个整数n,m。
  接下来n行,每行m个字符,描述一个01矩阵。

Output

  一个整数表示最少的1的数量。

Sample Input

  3 4
  0110
  1010
  0111

Sample Output

  2

HINT

  1 <= n <= 20,1 <= m <= 100000。

 

Solution

  首先发现矩阵只有20行,经过一番脑补,可以把这二十行压成一个数。

  然后我们就得到了m个数。

  然后在行上的取反就相当于将这m个数同时异或上同一个数。

  然后我们要求的就是,找出一个数,使得这m个数同时异或上这个数后,每个数的二进制位中的0和1的个数的最小值总和最小。

  我们设ans[x]为当异或的数为x时的答案,a数组用来存放m个数,d[x]为x的二进制位中0和1的个数的最小值。

  所以:

    

  我们稍微改一改,用w[x]表示在m个数中,为x的数有多少个:

    

  等等,是不是发现了什么?这不就是卷积FWT的式子吗?

    

  时间复杂度O(nm+2^n*n)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define MS 23
#define MN 100005
#define MM 1100005
using namespace std;
char c[MS][MN];
int a[MN];
ll A[MM],B[MM],C[MM];
int n,m,ans;

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0' && c<='9') {n=n*10+c-'0'; c=getchar();}
    return n*f;
}

void FWT(ll* a,int len,bool g)
{
    register int wt,st,i;
    ll x,y;
    for (wt=1;wt<len;wt<<=1)
        for (st=0;st<len;st+=wt<<1)
            for (i=0;i<wt;++i)
            {
                x=a[st+i]; y=a[st+wt+i];
                a[st+i]=x+y; a[st+wt+i]=x-y;
                if (g) a[st+i]>>=1,a[st+wt+i]>>=1;
            }
}

int main()
{
    register int i,j;
    n=read(); m=read(); ans=n*m;
    for (i=0;i<n;++i) scanf("%s",c[i]+1);
    for (i=n-1;i>=0;--i)
        for (j=1;j<=m;++j) a[j]=(a[j]<<1)+c[i][j]-'0';
    for (i=1;i<=m;++i) ++A[a[i]];
    for (i=0;i<(1<<n);++i) B[i]=B[i>>1]+(i&1);
    for (i=0;i<(1<<n);++i) B[i]=min(B[i],n-B[i]);
    FWT(A,1<<n,false); FWT(B,1<<n,false);
    for (i=0;i<(1<<n);++i) C[i]=A[i]*B[i];
    FWT(C,1<<n,true);
    for (i=0;i<(1<<n);++i) ans=min(ans,(int)C[i]);
    printf("%d",ans);
}

 

Last Word

  如果把FWT中的if语句改成(x+y)/g,(x-y)/g,效率会慢5倍,除法真是个可怕的东西。

posted @ 2017-12-11 21:08  ACMLCZH  阅读(227)  评论(0编辑  收藏  举报