[BZOJ]1019 汉诺塔(SHOI2008)

  找规律成功次数++。

 

Description

  汉诺塔由三根柱子(分别用A B C表示)和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上,大的在下面,小的在上面,形成了一个塔状的锥形体。

     

  对汉诺塔的一次合法的操作是指:从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层,同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面(如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求)。我们可以用两个字母来描述一次操作:第一个字母代表起始柱子,第二个字母代表目标柱子。例如,AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先,在任何操作执行之前,我们以任意的次序为六种操作(AB、AC、BA、BC、CA和CB)赋予不同的优先级,然后,我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子,直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子:(1)这种操作是所有合法操作中优先级最高的;(2)这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明,上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级,计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

  输入有两行。第一行为一个整数n,代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符,代表六种操作的优先级,靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

  只需输出一个数,这个数表示移动的次数。

Sample Input

  3
  AB BC CA BA CB AC

Sample Output

  7

HINT

  1≤n≤30,保证答案不会超过10^18。

 

Solution

  先来说说DP(实际上是递推)的做法。

  由于操作序列的优先级是固定的,那么对于每种操作序列,它的移动自始至终都是唯一的。所以我们称之为递推。

  Hanoi问题还有一个经典性质就是,它的整个过程是可以用递归实现的。

  用f[i][j]表示前i小的盘子现在全部堆叠在第j座塔上,把这i个盘子全部移到另一座塔上需要的步数。

  不管这i个盘子下面还有没有盘子,f[i][j]是固定的(显然很好证明)。这就可以看出这个问题有很好的子任务性。

  所以我们依然以上面提到的f[i][j]设计状态,顺便记录g[i][j]为这i个盘子从第j座塔移到了哪一座塔。

  接着就可以愉快地考虑转移了:

  首先操作序列是固定的,f[1][j]和g[1][j]都可以确定。

  当i>1时,我们分类讨论一下。

  先把i-1个盘子从j用f[i-1][j]的步数移到g[i-1][j],然后第i个盘子就只能够移到剩下的那座塔,设这座塔为k。

  然后要做的事是把位于g[i-1][j]的i-1个盘子移到k上。

    如果g[i-1][g[i-1][j]]=k,那么万事大吉,直接花费f[i-1][g[i-1][j]]的步数完成转移;

    如果g[i-1][g[i-1][j]]≠k,那么它只能等于j,无奈之下先把这i-1个盘子先移到j,

    然后第i个盘子又只能够从k移到g[i-1][j],由于g[i-1][j]=g[i-1][j],这下可以放心地把这i-1个盘子放到第i个盘子上了。

  总的转移方程为:

    

 

  然而小C刚开始做这题的的时候是没啥头绪的,所以开始打表找规律。

  打表之前,有一个显而易见的结论:

  每次移动的起点总是确定的,而终点可能确定也可能不确定。

  就拿n=3,“AB BC CB AC BA CA”为例:

  第一步,起点只能为“A”,终点可以是“B”、“C”,因为“AB”在“AC”前面,所以从把盘子从“A”挪到“B”→{2,3}{1}{};

  第二步,起点只能为“A”,终点只能为“C”→{3}{1}{2};

  第三步,起点只能为“B”,终点可以是“A”、“C”,“BC”在“BA”前面→{3}{}{1,2};

  第四步,起点只能为“A”,终点只能为“B”→{}{3}{1,2};

  第五步,起点只能为“C”,终点只能为“A”、“B”,“CB”在“CA”前面→{}{1,3}{2}……

  注意第五步本来的最优走法是“CA”,而走“CB”导致最终步数为9而不是7。

  所以能够影响答案的只有“AB”与“AC”之间,“BA”与“BC”之间,“CA”与“CB”之间的相对位置关系。

  又由于“B”和“C”本质上是相同的,“AB”和“AC”本质上也是相同的,所以当n确定时,答案不会超过4种。

  实际上,小C打表出来的答案只有3种。而且这3种的步数还分别是关于n的一阶递推式! 

  结论如下:f[1]=1,假设“AX”在“AY”前面。

    若“XA”在“XY”前面,递推式为f[x]=f[x-1]*3+2;

    若“XY”在“XA”前面且“YX”在“YA”前面,递推式为f[x]=f[x-1]*3;

    若“XY”在“XA”前面且“YA”在“YX”前面,递推式为f[x]=f[x-1]*2+1。

  小C也只能推导到这了,至于为什么是递推式,网络上其他题解也有证明。

  但至于为什么是这几个递推式,就有待研究了,小C也不会证明,读者如有想法可以发表评论或是联系小C。

 

  DP法:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MN 35
#define ll long long
using namespace std;
char c[3];
ll f[MN][3];
int g[MN][3];
int n;

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0' && c<='9') {n=n*10+c-'0'; c=getchar();}
    return n*f;
}

int main()
{
    register int i,x,y,z;
    n=read();
    for (i=1;i<=6;++i)
    {
        scanf("%s",c);
        if (!g[1][c[0]-'A'+1]) g[1][c[0]-'A'+1]=c[1]-'A'+1;
    }
    f[1][1]=f[1][2]=f[1][3]=1;
    for (i=2;i<=n;++i)
        for (x=1;x<=3;++x)
        {
            y=g[i-1][x]; z=6-x-y;
            if (g[i-1][y]==z) f[i][x]=f[i-1][x]+f[i-1][y]+1,g[i][x]=z;
            else f[i][x]=f[i-1][x]*2+f[i-1][y]+2,g[i][x]=y;
        }
    printf("%lld",f[n][1]);
}

 

  观察找规律法:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll ans;
int n,mov[3];
char a[6][6];

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0' && c<='9') {n=n*10+c-'0'; c=getchar();}
    return n*f;
}

int main()
{
    register int i;
    n=read();
    for (i=0;i<6;++i) scanf("%s",a[i]);
    for (i=5;i>=0;--i) mov[a[i][0]-'A']=a[i][1]-'A';
    ans=1;
    if (mov[mov[0]]==0) {for (i=2;i<=n;++i) ans=ans*3+2;}
    else if (mov[mov[mov[0]]]==mov[0]) {for (i=2;i<=n;++i) ans=ans*3;}
    else {for (i=2;i<=n;++i) ans=ans*2+1;}
    printf("%lld",ans);
}

 

Last Word

  有一次通过自己瞎搞找出规律的经历还是很赛艇的。

  题目中操作的720种排列方式明摆着就在告诉你,来打表找规律吧~

  不过递推的方法也算让小C知道了Hanoi的一个经典性质。

posted @ 2017-11-17 14:11  ACMLCZH  阅读(75)  评论(0编辑  收藏