【DSP】 02 离散时间信号的频域表示以及处理
🏊♀️第二章
2.1 Z变换的定义
Z 变换的定义可以从两个方面引出，
- 直接对离散信号给岀定义，
- 由抽样信号的拉普拉斯变换过渡到 Z 变换
通过直接定义求Z变换这里不再赘述，下面分析由Laplace变换变成Z变换的过程，并且能更好的分析Z变换的可行域问题。
由拉普拉斯变换过渡到 Z 变换
拉普拉斯变换是对于t≥0函数值不为零的连续时间函数x(t)操作，其存在条件是：
- 在\(0 \le t \le +\infty\)在任一有限区间上，除了有限个第一类间断点，函数\(x(t)\)及其导数是处处连续的。
- 存在常数\(M>0\)和\(\sigma \ge 0\)，使对于任何$ t(0 \le t \le +\infty)$，有
值得注意的是，Laplace Transform针对的是连续信号，因此从Laplace Transform过渡到Z Transform可以从对连续信号抽样的角度来看。
对(1.1)求Laplace Transform可以得到：
令\(z=e^{sT_s}\)，则此时，Laplace Transform可以变成以另一个复变量z的变换式，Lapace Transform中，复变量\(s=\sigma+j\Omega\)，其中\(\Omega=2\pi f\)为角频率，因此可以得到：
令
则可以得到：
\(z=re^{j\omega}\)，\(\omega=\Omega_s/f_s\)表示归一化的数字角频率
🎀映射规律
🐾频率轴定标
:::tips
收到抽样的频率\(f_s\)影响
:::
2.2 z变换的收敛域
\(|X(z)|=\left|\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}\right|<\infty\)
这样才有意义，可以等效为：
\(|X(z)|=| \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}|\leqslant \sum_{n=-\infty}^{\infty}| x(n) z^{-n} \mid<\infty\)
当\(N_1，N_2\) 取不同值时，\(x(n)\)可以是有限长序列、 右边序列 、左边序列及双边序列。显然，在不同的情况下其 Z 变换的 ROC 也不相同。
取不同值时\(x(n)\)的收敛域
2.3 一些典型信号的 Z 变换
:::info
:::
系统稳定性判据 2
一个 LSI 系统稳定的充要条件是其所有的极点都位于单位圆内
系统稳定性判据 3
一个 LSI 系统是稳定的充要条件是其收敛域包含单位圆。
🏊♀️第三章
3.1 连续时间信号
周期连续信号——傅里叶级数
\(x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(k \Omega_{0}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} k \Omega_{0} t}\)
\(X(k\Omega_0)=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jk\Omega_0t}dt\)
能写成Fourier级数的条件
设:x(t)是一个周期信号 ，其周期为T， 若_x(t)在一个周期内的能量是有限的_，即：
\(\int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2dt <\infty\)
\(x(t)\)需满足如下Dirichlet条件:
- 任一周期内断点数目有限
- 任一周期内极大值极小值有限
- 任一周期内绝对可积
一个例子：门函数的Fourier级数
\(X\left(k \Omega_{0}\right)=\frac{1}{T} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} A \mathrm{e}^{-j k \Omega_{0} t} \mathrm{d} t=\frac{A \tau}{T} \frac{\sin \left(k \Omega_{0} \tau / 2\right)}{k \Omega_{0} \tau / 2}=\frac{A \tau}{T} \frac{\sin \left(k \pi f_{0} \tau\right)}{k \pi f_{0} \tau}\)
非周期连续信号——傅里叶变换 FonrierTransform (F.T.)
\(X(j\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega\)
成立条件
1.x(t)属于\(L_2\)空间
2.满足Dirichlet条件，傅里叶变换时的 Dirichlet 条件的表述方法和傅里叶级数的是一样的
3.只要x(t)是绝对可积的， 那么， 它就一定是平方可积的。但是反过来并不一定成立.
例子
矩形信号的频谱 \(X(\mathrm{j} \Omega)=\int_{\tau / 2}^{\tau / 2} A \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \Omega t} \mathrm{d} t=A \tau \frac{\sin (\Omega \tau / 2)}{\Omega \tau / 2}\)
🐱🏍傅里叶变换和傅里叶级数的关系
:::tips
傅里叶级数对应的是周期信号 ，而傅里叶变换对应的是非周期信号； 前者要求信号在一个周期内的能量是有限的， 而后者要求信号在整个时间区间内的能量是有限的。
:::
二者间的转换
\(X(k\Omega_0)\) 代表了周期信号x(t)的第k次谐波幅度的大小， 而\(X(j\Omega)\)是频谱密度的概念。
\(\lim _{T \rightarrow \infty} T X\left(k \Omega_{0}\right)=\lim _{\Omega_{0} \rightarrow 0} \frac{2 \pi X\left(k \Omega_{0}\right)}{\Omega_{0}}=X(\mathrm{j} \Omega)\)
所以，从量纲上看，\(X(j\Omega)\) 等于谐波幅度\(X(k\Omega_0)\)除以频率\(\Omega_0\)， 显然， 它是频谱密度的概念。
另一种理解方式:
周期信号的傅里叶系数和用该信号的一个周期所求出的傅里叶变换的关系为
\(X\left(k \Omega_{0}\right)=\left.\frac{1}{T} X(\mathrm{j} \Omega)\right|_{\Omega=k \Omega_{0}}\)
Parseval定理
对于功率信号和能量信号分别为：
\(P_{x}=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2}|x(t)|^{2} \mathrm{d} t=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left|X\left(k \Omega_{0}\right)\right|^{2}\)
\(E_{x}=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2} \mathrm{d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}|X(\mathrm{j} \Omega)|^{2} \mathrm{d} \Omega\)
证明
\(\begin{aligned}
P_{x} &=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2}|x(t)|^{2} \mathrm{d} t=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} x(t) x^{*}(t) \mathrm{d} t \\
&=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} x(t)\left[\sum_{k=-\infty}^{\infty} X^{*}\left(k \Omega_{0}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k \Omega_{0} t}\right] \mathrm{d} t \\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty} X^{*}\left(k \Omega_{0}\right)\left[\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k \Omega_{0} t} \mathrm{d} t\right] \\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty} X^{*}\left(k \Omega_{0}\right) X\left(k \Omega_{0}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left|X\left(k \Omega_{0}\right)\right|^{2}
\end{aligned}\)
周期信号的傅里叶变换
\(X(j\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty} [\sum_{k=-\infty}^{\infty}{X(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0t}}]e^{-j\Omega t}dt
\\
=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{X(k\Omega_0)}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{j(\Omega-k\Omega_0)t}}dt\)
又因为定义奇异函数：
\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{jxy}dx=2\pi \delta(y)\)
所以可以得到周期信号傅里叶变换：
\(X(j\Omega)=2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty}{X(k\Omega_0) \delta(\Omega-k\Omega_0)}\)
:::info
一个周期信号的傅里叶变换是由频率轴上间距为\(\Omega_0\)的冲激序列 (Drac函数)所组成，这些冲激序列的强度等于相应的傅里叶系数乘以 \(2\pi\)。这样的离散频谱又称为“线谱”。由冲激函数的定义和频谱密度的物理概念可知， 周期信号的频谱应理解为在无穷小的频率范围内取得了一个“ 无限大”的频谱密度。无限大是从冲激函数的角度来理解的。 冲激函数的强度为\(2\pi X(k\Omega_0)\)， 单纯地从\(X(k\Omega_0)\)来理解 ，它无密度的概念，它代表了在\(k\Omega_0\)处的谐波的大小。
:::
时域冲击串序列的傅里叶变换
\(p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta(t-nT)}\)
显然，它是周期的， 周期为 ：T，将其展成傅里叶级数，有
\(\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T) \Leftrightarrow \frac{2 \pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(\Omega-k \Omega_{0}\right)\)
这一结果又称为Poisson和公式
关于傅里叶变换的另一种解释
:::info
傅里叶变换实际上是将信号x(t)和一组不同频率的复正弦作内积
\(X\left(k \Omega_{0}\right)=\left\langle x(t), \mathrm{e}^{\mathrm{j} k \Omega_{0} t}\right\rangle, \quad X(\mathrm{j} \Omega)=\left\langle x(t), \mathrm{e}^{\mathrm{j} \Omega t}\right\rangle\)
式中的_复正弦即变换的基向量， 而傅里叶系数或傅里叶变换是x(t)在这一组基向量上的投影。由于不同频率的正弦信号两两之间是正交的， 因此傅里叶变换是正交变换_。
傅里叶变换可以更直观地解释为是将信号展开成无穷多正弦信号的组合。对傅里叶级数，“ 无穷多” 正弦指的是取基波频率\(\Omega_0\)整数倍的那些正弦， 对傅里叶变换， 则是\(\Omega\) 轴上连续取值的那些正弦。
:::
why选择正弦波作为基向量？
- 前已述及， 正弦信号是最规则的信号， 由幅度、 相位及频率这三个参数即可完全确定其时域波形
- 时间和频率是现实世界中两个最重要也是最基本的物理量， 它们与我们的日常生活密切相关， 我们时时.可以感受到它们的存在.
3.2 离散时间信号
非周期离散时间信号——离散时间信号傅里叶变换（DTFT）
\(X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x(n)e^{-j\omega n}}\)
\(x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{X(e^{j\omega})e^{j\omega n}}d\omega\)
DTFT性质
奇偶虚实性质
:::info
\(\begin{array}{c}
X_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[x_{\mathrm{R}}(n) \cos (\omega n)+x_{\mathrm{I}}(n) \sin (\omega n)\right] \\
X_{I}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[x_{\mathrm{R}}(n) \sin (\omega n)-x_{I}(n) \cos (\omega n)\right] \\
x_{\mathrm{R}}(n)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left[X_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \cos (\omega n)-X_{I}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \sin (\omega n)\right] \mathrm{d} \omega \\
x_{I}(n)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left[X_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \sin (\omega n)+X_{I}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \cos (\omega n)\right] \mathrm{d} \omega
\end{array}\)
:::
如果x(n)为实信号，那么\(x_I(n)=0\),则根据\(\sin{\omega n},\cos{\omega n}\)的奇偶性可以推出以下奇偶性关系。
\(X_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{j\omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) \cos (\omega n)=X_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)\)
\(X_{\mathrm{I}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=-\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) \sin (\omega n)=-X_{1}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}\right)\)
由此可以推出DTFT的Hermitian对称性
\(X^*(e^{j\omega})=X(e^{-j\omega})\)
**时域卷积 **
\(\begin{array}{c}
y(n)=x(n) * h(n) \\
Y\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)
\end{array}\)
时域相关
\(\begin{array}{c}
y(m)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) h(n+m) \\
Y\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=X^{*}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)
\end{array}\)
Parseval定理
\(E_{x}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega}\right)\right|^{2} \mathrm{d} \omega=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} E\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{d} \omega\)
*✨Wiener-Khinchin ( 维纳-辛钦）定理
\(P_{x}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} r_{x}(m) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega m}=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{\left|X_{2 N}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^{2}}{2 N+1}\)
🦄截短信号的影响
信号的截短可以看作无限长信号乘上了一个有限长的窗函数。
窗函数
\(\begin{aligned}
D\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=& \sum_{n=0}^{N-1} d(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}=\sum_{n=0}^{N-1} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}=\frac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \mathrm{N}}}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega}} \\
&=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \mathrm{N} / 2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega N / 2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \mathrm{N} / 2}\right)}{\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega / 2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega / 2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega / 2}\right)} \\
& D\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega(N-1) / 2} \frac{\sin (\omega N / 2)}{\sin (\omega / 2)} \\
D_{g}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) &=\frac{\sin (\omega N / 2)}{\sin (\omega / 2)}
\end{aligned}\)
\(D(e^{j\omega})\)在\(\omega=0\)两边第一个过零点间的部分称\(D(e^{j\omega})\)的主瓣， 对矩形窗 ，该主瓣宽度\(B=4\pi/N\)， 主瓣以外部分\((|\omega|\ge2\pi/N)\)称为\(D(e^{j\omega})\)的边瓣。
显然， N增大时，主瓣宽度 B减小
在实际工作中， 对信号的截短是不可避免的， 因此总要使用窗函数。
矩形窗是最简单的窗函数， 对信号的自然截短就意味着使用了矩形窗， 窗的宽度即数据的长度。
除了矩形窗外， 人们还提出了许多其他类型的窗函数， 如汉明窗 、 汉宁窗等。由以上两个例子可以看出，** 窗函数的主瓣越窄越好， 边瓣越小并衰减得越快越好。**
若\(x_N(n)=x(n)d(n)\)。则\(X_N(e^{j\omega})=X(e^{j\omega})*D(e^{j\omega})\)
卷积的结果是\(D(e^{j\omega})\)的主瓣对\(X(e^{j\omega})\)起到了 “ 平滑”的作用， 降低了\(X(e^{j\omega})\)中谱峰的分辨能力_。_
例如， 假设x(n)为两个正弦信号的和， 那么， 其频谱在\(\omega_1,\omega_2\)处各有一个谱线。若 主 瓣的宽度大于\(|\omega_1-\omega_2|\)_ ， 那么在 _\(X_N(e^{j\omega})\)中将分辨不出这两根谱线，
加窗：频谱泄露／分辨率问题／平滑
抽样定理
信号的抽样理论是连接离散信号和连续信号的桥梁， 是进行离散信号处理与离散系统设计的基础。
信号的抽样可以看作：
\(\begin{aligned}
x\left(n T_{\mathrm{s}}\right) &=\left.x_{a}(t)\right|_{t=n T_{\mathrm{s}}}=x_{a}(t) p(t) \\
p(t) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(t-n T_{\mathrm{s}}\right)
\end{aligned}\)
我们不妨把\(x(nT_s)\)也视为连续信号， 其傅里叶变换记为\(X_s(j\Omega)\)， 显然
\(\begin{array}{c} X_{\mathrm{s}}(\mathrm{j} \Omega)=\frac{1}{T_{\mathrm{s}}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_{a}\left(\mathrm{j} \Omega-\mathrm{j} k \Omega_{\mathrm{s}}\right) \\ X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left.X_{\mathrm{s}}(\mathrm{j} \Omega)\right|_{\Omega=\omega / T_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{T_{\mathrm{s}}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_{a}\left(\mathrm{j} \Omega-\mathrm{j} k \Omega_{\mathrm{s}}\right) \end{array}\)
可以看出抽样后的信号实际上是原来信号的频谱按照抽样频率\(\omega_s\)重复平移后的叠加
信号的重建
以上的讨论回答了\(X_a(j\Omega)\)和\(X(e^{j\omega})\) 的关系及如何使\(x(nT_s)\)保持\(x_a(t)\)全部信息的问题， 现在从数学上讨论如何由:\(x(nT_s)\)恢复出\(x_a(t)\).假定没有发生混叠.
理想低通滤波器
\(H(\mathrm{j} \Omega)=\left\{\begin{array}{ll}
T_{\mathrm{s}} & |\Omega| \leqslant \Omega_{\mathrm{s}} / 2 \\
0 & |\Omega|>\Omega_{\mathrm{s}} / 2
\end{array}\right.\)
经过低通滤波器后\(Y(\mathrm{j} \Omega)=T_{\mathrm{s}} X_{\mathrm{s}}(\mathrm{j} \Omega)=X_{a}(\mathrm{j} \Omega)\)，所以\(y(t)=h(t)*x_s(t)\)。恢复后的信号为：
\(x_{a}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x\left(n T_{\mathrm{s}}\right) \frac{\sin \left[\pi\left(t-n T_{\mathrm{s}}\right) / T_{\mathrm{s}}\right]}{\pi\left(t-n T_{\mathrm{s}}\right) / T_{\mathrm{s}}}\)
此式即由抽样后的离散信号重建原信号的公式。
:::info
不难发现， 这是一个插值公式， 插值函数为sinc函数， 插值间距为\(T_s\) ； 权重为 x(nTs)。只要满足抽样定理， 那么由无穷多加权sinc函数移位后的和即可重建出原信号。
:::
离散时间周期信号——离散时间信号的傅里叶级数DFS
设\(\tilde{x}(nT_s)\)是周期信号\(\tilde{x}(t)\)的抽样，\(\tilde{x}(t)\)的周期为 T， 每个周期内抽 N 个点， 即\(T=NT_s\)这样， \(\tilde{x}(nT_s)\)也是周期的， 周期为 \(NT_s\)或N。将\(\tilde{x}(t)\)展成傅里叶级数， 得
\(\tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0t}\)
抽样：
\(\begin{aligned}
\tilde{x}\left(n T_{\mathrm{s}}\right)=\left.\tilde{x}(t)\right|_{t=n T_{\mathrm{s}}} &=\sum_{k} \tilde{X}\left(k \Omega_{0}\right) \exp \left(\mathrm{j} k \frac{2 \pi}{N T_{\mathrm{s}}} n T_{\mathrm{s}}\right) \\
&=\sum_{k} \tilde{X}\left(k \Omega_{0}\right) \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi}{N} n k\right)
\end{aligned}\)
\(X(k\Omega_0)\) 改记为\(\tilde{X}(k\Omega_0)\)。对周期信号的求和或积分应在一个周期内进行， 因此上式的求和也应在\(\tilde{X}(k\Omega_0)\)的一个周期内进行。\(\tilde{X}(k\Omega_0)\) 的周期是N。
\(\left\{\begin{array}{ll}
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \exp \left(-\mathrm{j} \frac{2 \pi}{N} n k\right) & k=0,1, \cdots, N-1 \\
x(n)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi}{N} n k\right) & n=0,1, \cdots, N-1
\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll}
\tilde{X}(k)=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) \exp \left(-\mathrm{j} \frac{2 \pi}{N} n k\right) & k\in(-\infty,+\infty) \\
\tilde{x}(n)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}(k) \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi}{N} n k\right) & n\in(-\infty,+\infty)
\end{array}\right.\)
尽管式中标注的都是从\(-\infty\)至\(+\infty\)， 实际上， 只能算出 N个独立的值。DFS 在时域、 频域都是周期的， 且是离散的。（3. 4. 5)式和 （3. 4. 6)式实际上是一样的， 只不过前者更明确地表示仅取一个周期。
另一种方式理解DFS
也可以由更为简单的方法导出。设\(x(n),n=1,2,\cdots N-1\)，为一有限长序列，其 DTFT 为
\(X(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\omega n}\)
前面已指出，\(X(e^{j\omega})\)是\(\omega\)的连续函数， 且是周期的， 周期为\(2\pi\)。现将\(X(e^{j\omega})\)离散化， 具体方法是令其一个周期内恰好有N个点， 即
\(\left.X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|_{\omega=2 \pi k / N}=\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \exp \left(-\mathrm{j} \frac{2 \pi}{N} n k\right)=X(k)\)
我们知道， 时域抽样将使原连续信号的频谱变成周期的， 那么， 对连续频谱的抽样也必然使原来的时域信号变成周期的。
离散傅里叶变换DFT
在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时， 对信号的要求是：在时域和频域都应是离散的， 且都应是有限长。
只有DFS在时域和频域都是离散的。
\(\left\{\begin{array}{l} X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \exp \left(-\mathrm{j} \frac{2 \pi}{N} n k\right)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n) W_{N}^{n k} \quad k=0,1, \cdots, N-1 \\ x(n)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) \exp \left(j \frac{2 \pi}{N} n k\right)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) W_{N}^{-n k} \quad n=0,1, \cdots, N-1 \end{array}\right.\)
显然 DFT 并不是一个新的傅里叶变换形式，它实际上来自于 DFS， 只不过仅在时域 、 频域各取一个周期而已。由这一个周期作延拓， 可得到整个的王\(\tilde{x}(n)\)和\(\tilde{X}(k\Omega_0)\)
那么， 如何应用 上式求\(x(n)\)的傅里叶变换呢？具体方法是：若\(x(n)\)是有限长序列， 我们令其长度为N， 若\(x(n)\)是无限长序列， 我们可用矩形窗将其截成 N 点， 然后把这 N 点序列视为一周期序列\(\tilde{x}(n)\)的一个周期。
🐱🐉DFT的图形解释
d进行周期延拓，相当于频域抽样，实际上是因为做了频域的离散化，变成了周期信号
正交性
令矩阵
\(\boldsymbol{W}_{N}=\left[W^{n k}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}
W^{0} & W^{0} & W^{0} & \cdots & W^{0} \\
W^{0} & W^{1} & W^{2} & \cdots & W^{N-1} \\
W^{0} & W^{2} & W^{4} & \cdots & W^{2(N-1)} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
W^{0} & W^{N-1} & W^{2(N-1)} & \cdots & W^{(N-1)(N-1)}
\end{array}\right]\)
DFT的正变换可以写成矩阵形式：
\(\boldsymbol{X_N}=\boldsymbol{W_Nx_N}\)
由于\(\boldsymbol{W}_{N}^{*} \boldsymbol{W}_{N}=\sum_{k=0}^{N-1} W^{m k} W^{-n k}=\sum_{k=0}^{N-1} W^{(m-n) k}=\left\{\begin{array}{ll}
N & m=n \\
0 & m \neq n
\end{array}\right.\)，所以W矩阵是正交的！所以W变换是正交变换，于是可以有：
\(\boldsymbol{W}_{N}^{*} \boldsymbol{W}_{N}=N \boldsymbol{I}\\
\boldsymbol{W}_{N}^{-1}=\frac{1}{N} \boldsymbol{W}_{N}^{*}\)
位移性质
\(\begin{array}{l}
\operatorname{DFT}[x(n+m)]=W^{-k m} X(k) \\
\operatorname{DFT}[x(n-m)]=W^{k m} X(k)
\end{array}\)
由于\({x}(n)\)被视作周期序列\(\tilde{x}(n)\)的一个周期， 所以对\({x}(n)\)的移位应是整个序列的移位， 即前面移出去后， 后面移进来， 故移位后仍是 N点周期序列
🐱🏍时域循环卷积
\({x}(n)\)和\(h(n)\)的循环卷积定义为
\(\begin{aligned}
y(n \bmod N) &=x(n) \otimes h(n) \\
&=\sum x(i \bmod N) h(n-i \bmod N)
\end{aligned}\)
式中\((n \bmod N)\)表示以N为模对n求余
- 信号的翻转应是整个序列的翻转
- 然后改变n， 即将\(h(-i)\)移位后得\(h(n-i)\)再与\(x(i)\)对应相乘， 得\(y(n)\)正因为\(x(n)\),\(h(n)\)分别是\(\tilde{x}(n)\)，\(\tilde{h}(n)\)的一个周期， 所以将h(n) 翻转后移位时， 因在一个周期内有移出就有移入， 故求和始终在一个周期内， 即在\(0\sim N-1\) 内进行。
- 故卷积的结果\(y(n)\)也是周期的， 周期为 \(N\)。
频率分辨率
频率分辨率是指所用的算法能将信号中两个靠得很近的谱峰保持分开的能力。
\(\Delta f=1/T\)
🐌补零问题
补零不能提高分辨率：
:::tips
实际上这是错把 “ 计算分辨率” 当成了“ 物理分辨率”。我们在 3. 7. 1 节已指出， 补零没有对原信号增加任何新的信息， 因此不可能提高分辨率。但补零可使数据 N 为 2 的整次幂， 以便于使用快速傅里叶变换算法 （FFT)， 而且补零还可对原\(X(k)\)做插值。由例 3. 2. 7 可知， 数据截短必然要产生频谱的泄漏， 数据过短时这些泄漏将严重影响对原频谱的辨认， 而插值可在一定程度上克服这一现象。
:::
**补零不可能提高物理分辨率；补零相当于对原X(k)做插值 **
Hilbert变换
a) 即说明 Hilbert变换器是全通滤波器；负频率部分移相90，正频率部分移相 -90，即可等效成一理想移相器 >>
b) 解析信号
\(z(t)=x(t)+j \hat{x}(t)\\
\begin{aligned}
Z(j \Omega) &=X(j \Omega)+j H(j \Omega) X(j \Omega) \\
&=X(j \Omega)+j[-j \operatorname{sgn}(\Omega)] X(j \Omega)
\end{aligned}\)
即：\(Z(j \Omega)=\left\{\begin{array}{ll}
2 X(j \Omega) & \Omega>0 \\
0 & \Omega<0
\end{array}\right.\)
解析信号 z(t) 的频谱只有正频率成分！若对 z(t) 抽样，抽样频率可降低一倍。
c) 离散时间信号的hilbert变换
d) 稳定的实因果信号的傅里叶变换的实部和虚部满足希尔伯特变换关系
🎶Summary:四种形式的傅里叶变换
DFS在时域和频域都是离散的， 且都是周期的， 周期都为 N 点。
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