DSU on tree

今天模拟赛 T2 用到了，所以来浅浅地学一下 DSU on tree。

对于一类树上问题（大多是和路径有关的），其暴力复杂度通常会带上一个 \(n^{2}\)，这时利用启发式合并就可以将其优化到 \(n \log n\)。

具体地，假设搜索到了 \(u\) 结点，令 \(son_{u}\) 表示结点 \(u\) 的重儿子，那么：

1. 先对 \(u\) 的所有非重儿子 \(v(v \neq son_{u})\) 搜索，搜索结束后消除这次搜索带来的影响，或者说回溯，包括但不限于清空桶，撤回标记等等。
2. 搜索 \(son_{u}\)，并且保留这次搜索带来的影响，即不回溯。
3. 再次对 \(u\) 的所有非重儿子 \(v(v \neq son_{u})\) 搜索。

第一步可以和第二步可以统计出 \(u\) 的每个子树的答案，第三步是为了求出 \(u\) 的信息并统计答案。

因为 \(u\) 的各个信息可以由其子树继承/合并而来，所以我们可以选择一个子树，在其搜索结束后不回溯，直接继承/合并到当前节点来，按照人类智慧来看，我们保留子树大小最大的子树的信息是最划算的，这就是树上启发式合并的精髓。

复杂度证明不会，OI wiki 上的证明看不懂，有没有好心人给我讲讲/kk