斐波那契数列

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1、什么是斐波那契数列？

斐波那契数列就是从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

例子：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89 ......

2、记忆点

1）所有数据相加

\[S_n = a_{n+2} - a_2 \]

2）奇、偶下标相加

\[奇数：a_1+a_3+a_5+a_7+\cdots+a_{2n-1}=S_{2n-2}+a_1=a_{2n}-a_2+a_1\\ 偶数：a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + \cdots + a_{2n} = S_{2n-1} - a_1 + a_2 = a_{2n+1} - a_1 \]

3）任意连续三项

\[a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2 = (-1)^n \]

4）3.1

\[a_n^2 = a_{n+1}a_n- a_na_{n-1} \]

5）余数列的周期性

被2除的与数列周期为3: 1，1，0....

被4除的与数列周期为6: 1，1，2，3，1，0....

被3除的与数列周期为8: 1，1，2，0，2，2，1，0....

3、常用的性质

性质一

\[S_n = a_{n+2} - a_2 \]

推导：

\[\begin{cases} &a_{n+2}=a_{n+1} + a_n \\ &a_{n+1}=a_n + a_{n-1}\\ &a_{a_n}=a_{n-1} + a_{n-2}\\ &\cdots\\ &a_4=a_3+a_2\\ &a_3=a_2+a_1\\ \end{cases} \]

将上述的式子相加就会得到：

\[a_{n+2}= (a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+a_2+a_1)+a_2\\ ↓\\ a_{n+2} = S_n + a_2\\ ↓\\ S_n = a_{n+2} - a_2 \]

性质二

奇数项之和：

\[a_1+a_3+a_5+a_7+\cdots+a_{2n-1}=S_{2n-2}+a_1=a_{2n}-a_2+a_1\\ 当a1=a2=1时↓\\ a_1+a_3+a_5+a_7+\cdots+a_{2n-1}=S_{2n-2}+a_1=a_{2n} \]

将除了第一项的数据进行拆分

\[a_1+[(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+a_6)+\cdots+(a_{2n-3}+a_{2n-2})]=a_1+S_{2n-2}\\ ↓↓↓S_n=a_{n+2}-a_2(性质一的结论)↓↓↓\\ a_1+S_{2n-2}=a_1+[a_{2n}-a_2] \]

偶数项之和：

\[a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + \cdots + a_{2n} = S_{2n-1} - a_1 + a_2 = a_{2n+1} - a_1\\ 当a1=a2=1时↓\\ a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + \cdots + a_{2n} = S_{2n-1} = a_{2n+1} - 1 \]