一、        实践题目

改写二分搜索算法 (20 )

题目来源:《计算机算法设计与分析》,王晓东

设a[0:n-1]是已排好序的数组,请改写二分搜索算法,使得当x不在数组中时,返回小于x的最大元素位置i和大于x的最小元素位置j。当搜索元素在数组中时,i和j相同,均为x在数组中的位置。

输入格式:

输入有两行:

第一行是n值和x值; 第二行是n个不相同的整数组成的非降序序列,每个整数之间以空格分隔。

输出格式:

输出小于x的最大元素的最大下标i和大于x的最小元素的最小下标j。当搜索元素在数组中时,i和j相同。 提示:若x小于全部数值,则输出:-1 0 若x大于全部数值,则输出:n-1的值 n的值

输入样例:

在这里给出一组输入。例如:

6 5
2 4 6 8 10 12

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如:

1 2

 

二、        问题描述

对二分搜索算法改进,已知是已经排好序的数组,对于输入的数据x,通过改进后的二分搜索算法,先判断x是比给定数组大(在数组右边)还是小(在数组左边),还是大小位于数组内,若在数组中有x则输出x所在数组下标否则输出比x小的最大数字的下标和比x大的最小数字的下标。

二分搜索可以找到x在数组中的数组下标,只要改进它,使之能够在x不在数组里的情况下得到结果就可以了。

 

三、        算法描述

1、  if(x<a[0]) cout<<"-1 0\n";

    else if(x>a[n-1]) cout<<n-1<<" "<<n<<"\n";

    else BinarySearch(a,x,n);

 

判断x是大于数组最大还是小于数组最小,若位于中间,调用改进的二分搜索算法

 

2、二分搜索(改进)

 

void BinarySearch(int a[],int x,int n){

    int left = 0;

    int right = n-1;

    int flag=0;

    while (left <= right){

        int middle = (left+right)/2;

        if (x == a[middle]){

            cout<<middle<<" "<<middle<<endl;

            return ;

        }

        if (x > a[middle]){

            left = middle+1;

        }

        else {

            right = middle-1;

        }

    }

    if(a[left]>x) cout<<left-1<<" "<<left<<endl;

    else if(x>a[left]) cout<<left<<" "<<left+1<<endl;

    return;

}

 

取数组两端数字left,right,当left小于right时即数组存在且不止一个元素,循环求得数组中间得数字(中位数,已排序),如果该中间得数字是x,那么直接输出x的小标,否则缩小范围(一半一半地缩,若x大于中间数,那么递归调用该函数,范围改成中间数到right,反之调用范围为left到中间数的该二分算法);

因为是已排好序的数组,如果x不在数组中,那么x在数组中左右两边的数字就是所要求的答案。所以当二分算法停止时,只需比较目前“left”的那个数字和x的大小就能确定比x大的最小数和比x小的最大数的数组下标。若left大于x那么那两个数为left和left-1,反之为left和left+1。

 

四、        算法时间及空间复杂度分析

 

void BinarySearch (int a[],int x,int n){

    int left = 0;

    int right = n-1;

    int flag=0;

    while (left <= right){

        int middle = (left+right)/2;

        if (x == a[middle]){

            cout<<middle<<" "<<middle<<endl;

            return ;

        }

        if (x > a[middle]){

            left = middle+1;

        }

        else {

            right = middle-1;

        }

    }

    if(a[left]>x) cout<<left-1<<" "<<left<<endl;

    else if(x>a[left]) cout<<left<<" "<<left+1<<endl;

    return;

}

 

二分搜索算法时间复杂度分析:

假设数据的规模为N(即每次调用时的right-left),程序执行的比较次数表示为C(N),假设程序查找的是一个不存在的数据,则此时执行的次数是最多的:

 

执行第一次时有:  (1代表执行一次x和a[middle]的比较,(N/2)代表下一次调用该算法时right-left的值,即新的数据规模每次少一半)

 

假定总共有n个元素,那么二分后每次查找的区间大小就是n,n/2,n/4,…,n/2^k(接下来操作元素的剩余个数),其中k就是循环的次数。最坏的情况是K次二分之后,最后分下来每个区间的大小为1,才找到想要的元素。

令n/2^k=1

可得k=log2n,(是以2为底,n的对数),所以时间复杂度可以表示O()=O(logn)

 

二分搜索算法空间复杂度分析:

使用的是迭代的算法,在原来的数组上动手,循环改变该数组的范围,没有申请其他的辅助空间,所以空间复杂度是常数级别的,为O(1)。

 

五、        心得体会

打出一个二分搜索的代码并不难,是很简单很基础的算法,这道题难在改进上。要发现规律:如果x不在数组中时,小于x的最大数和大于x的最小数就是二分最后指向的元素和它的左边或者右边,因为数组为有序序列。一开始打好了二分搜索的框架,然后分好情况了,想到这个并实现花了点时间,而且一开始打的代码特别复杂,其实很多地方都是啰嗦重复操作,在老师的提醒下删掉一些没用的代码,改进后特别清爽。

所以打出代码其实不难,难在思考解决问题的方法上。还有打完代码后要多看几遍自己打的代码,分析清楚每一行每一步是在干嘛,有什么变化和用处,连自己都看得晕晕的就是不好的解决方法,那样才能改进并简化第一次打出来的代码。

posted on 2019-09-21 17:32  mikasawell  阅读(298)  评论(0编辑  收藏  举报