理论力学——朗道

第一章 运动方程

首先，力学的研究对象是质点，力学的研究内容是确定质点的运动轨迹（力学（mechanics） 研究物质机械运动规律的科学。静力学研究平衡状态受力【速度为常数的运动】，动力学研究加速度不为零的运动，动力学自不用说）

首先我们要有广义坐标q（不一定是x,y,z坐标系的坐标系中的坐标）用于描述轨迹，对于时刻在变化的运动，仅知道坐标是不足以描述运动的，还需要速度v来描述坐标随时间的“变化“，……，由于描述力学的方程牛顿第二定律是一个二阶微分方程，求解后确定特解只需要两个常数C，显然，有了坐标和速度两个量，足以确定轨迹。

我们开始于最小作用原理/变分学/最降速线问题，对描述质点运动”轨迹“（广义轨迹/系统状态）的函数L，我们叫他拉格朗日函数/状态函数，它满足拉格朗日-欧拉方程。（注：L显然是坐标q与速度v的函数，时间t的出现则是因为q=q(t)等等，或者直接说，这是个泛函问题.,对应的物理原因大概是速度的引入？）

函数L是线性的，数乘cL对应的是单位的任意性，可加性反应了两独立系统的相互”独立“（这显然是实函数，量子中波函数的可加性就变成了叠加原理）。函数L 在满足拉式方程的前提下，允许加上一个f(q,t)的全微分，这一数学性质正好对应伽利略的”力学运动方程在伽利略变换下具有不变性。中学利用这一性质在力学的相似性。

对封闭质点系，可以记L=T-U，这里T是广义动能，是广义速度和广义坐标点函数，U是广义势能，只与广义坐标有关。该形式下，拉格朗日方程或许可以叫广义牛二

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\[广义坐标：q_i\\ 广义速度:\dot{q_i}\\ 广义动量：p_i=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}\\ 广义力:F_i = \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}\\ 动能:T=T(q_i,\dot{q_i})=\frac{1}{2}\Sigma_{i,k}a_{ik}(q)\dot{q_i}\dot{q_k}（二次型）\\ 势能：U=U(q) \]

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第二章 守恒定律

对孤立力学体系：

时间轴平移不变=对时间求导为0=能量守恒

空间轴平移不变=对r求导为0=动量守恒=牛顿第三定律

空间轴旋转不变=对角求导为0=角动量守恒

以上由女物理学家总结，也可以从对L 求导看出。

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第三章 运动方程的积分

1. 写出L

2. 列拉格朗日方程组AL=0

3. 解方程

   特别的，当守恒量出现/循环坐标出现/对称出现，则拉格朗日方程左右两项中将有一项为0，方程将简化。

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四到六章可以看作解方程的练习题，也可以看做拉格朗日方程取代牛顿定律解释几大力学问题

第五章微振动引入数学微扰思想，对势能U进行微扰，研究系统变化

第六章刚体的运动，将线性代数解大型方程组发挥到极致

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第七章 正则方程

将x,v换成x,p，与热力学接轨，坐标变换过程叫勒让德变换。

新方程变成两个一阶方程，这显然与一个二阶方程是等价的。该方程叫哈密顿方程，因为太常用，被“戏称”为正则方程。

引入李代数简化方程的样子，将李括号定义成……叫泊松括号，让方程变好看。符号的改变往往引起大变革，比如哈密顿引出的量子力学。

虽然x,v还可以换成其他坐标，但不是所有坐标都满足正则方程的形式，满足该形式的坐标叫正则坐标，变成正则坐标的坐标变换的过程叫正则变换

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评价

朗道力学卷将简约发挥到了极致，章节切分有欧拉遗风，深谙当代网文写作短而快之道
以数学方程-解方程为主线，串起力学物理知识，夹杂大师经验、感悟
美中不足，由于追求物理，导致有些数学概念先用，几节之后才解释定义，更有甚者直接不解释
物理描述也有类似问题，似乎默认读者有物理背景，了解书中涉及到物理基础，行星运动、振动、散射、刚体等，
全书更多的是站在拉格朗日方程的视角重新介绍力学，并在最后一章简介了哈密顿
这与欧拉把读者当白痴的教法相去甚远