理论力学——朗道

第一章 运动方程

首先,力学的研究对象是质点,力学的研究内容是确定质点的运动轨迹(力学(mechanics) 研究物质机械运动规律的科学。静力学研究平衡状态受力【速度为常数的运动】,动力学研究加速度不为零的运动,动力学自不用说)

首先我们要有广义坐标q(不一定是x,y,z坐标系的坐标系中的坐标)用于描述轨迹,对于时刻在变化的运动,仅知道坐标是不足以描述运动的,还需要速度v来描述坐标随时间的“变化“,……,由于描述力学的方程牛顿第二定律是一个二阶微分方程,求解后确定特解只需要两个常数C,显然,有了坐标和速度两个量,足以确定轨迹。

我们开始于最小作用原理/变分学/最降速线问题,对描述质点运动”轨迹“(广义轨迹/系统状态)的函数L,我们叫他拉格朗日函数/状态函数,它满足拉格朗日-欧拉方程。(注:L显然是坐标q与速度v的函数,时间t的出现则是因为q=q(t)等等,或者直接说,这是个泛函问题.,对应的物理原因大概是速度的引入?)

函数L是线性的,数乘cL对应的是单位的任意性,可加性反应了两独立系统的相互”独立“(这显然是实函数,量子中波函数的可加性就变成了叠加原理)。函数L 在满足拉式方程的前提下,允许加上一个f(q,t)的全微分,这一数学性质正好对应伽利略的”力学运动方程在伽利略变换下具有不变性。中学利用这一性质在力学的相似性。

对封闭质点系,可以记L=T-U,这里T是广义动能,是广义速度和广义坐标点函数,U是广义势能,只与广义坐标有关。该形式下,拉格朗日方程或许可以叫广义牛二


\[广义坐标:q_i\\ 广义速度:\dot{q_i}\\ 广义动量:p_i=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}\\ 广义力:F_i = \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}\\ 动能:T=T(q_i,\dot{q_i})=\frac{1}{2}\Sigma_{i,k}a_{ik}(q)\dot{q_i}\dot{q_k}(二次型)\\ 势能:U=U(q) \]


第二章 守恒定律

对孤立力学体系:

时间轴平移不变=对时间求导为0=能量守恒

空间轴平移不变=对r求导为0=动量守恒=牛顿第三定律

空间轴旋转不变=对角求导为0=角动量守恒

以上由女物理学家总结,也可以从对L 求导看出。


第三章 运动方程的积分

  1. 写出L

  2. 列拉格朗日方程组AL=0

  3. 解方程

    特别的,当守恒量出现/循环坐标出现/对称出现,则拉格朗日方程左右两项中将有一项为0,方程将简化。


四到六章可以看作解方程的练习题,也可以看做拉格朗日方程取代牛顿定律解释几大力学问题

第五章微振动引入数学微扰思想,对势能U进行微扰,研究系统变化

第六章刚体的运动,将线性代数解大型方程组发挥到极致


第七章 正则方程

将x,v换成x,p,与热力学接轨,坐标变换过程叫勒让德变换。

新方程变成两个一阶方程,这显然与一个二阶方程是等价的。该方程叫哈密顿方程,因为太常用,被“戏称”为正则方程。

引入李代数简化方程的样子,将李括号定义成……叫泊松括号,让方程变好看。符号的改变往往引起大变革,比如哈密顿引出的量子力学。

虽然x,v还可以换成其他坐标,但不是所有坐标都满足正则方程的形式,满足该形式的坐标叫正则坐标,变成正则坐标的坐标变换的过程叫正则变换


评价

朗道力学卷将简约发挥到了极致,章节切分有欧拉遗风,深谙当代网文写作短而快之道
以数学方程-解方程为主线,串起力学物理知识,夹杂大师经验、感悟
美中不足,由于追求物理,导致有些数学概念先用,几节之后才解释定义,更有甚者直接不解释
物理描述也有类似问题,似乎默认读者有物理背景,了解书中涉及到物理基础,行星运动、振动、散射、刚体等,
全书更多的是站在拉格朗日方程的视角重新介绍力学,并在最后一章简介了哈密顿
这与欧拉把读者当白痴的教法相去甚远

posted @ 2022-07-16 17:09  Semi-Dihedron  阅读(1600)  评论(0)    收藏  举报