第二章实践报告

实践题目：7-1 最大子列和问题 

问题描述：给定K个整数组成的序列{ N​1​​, N​2​​, ..., N​K​​ }，“连续子列”被定义为{ N​i​​, N​i+1​​, ..., N​j​​ }，其中 1。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

• 数据1：与样例等价，测试基本正确性；
• 数据2：102个随机整数；
• 数据3：103个随机整数；
• 数据4：104个随机整数；
• 数据5：105个随机整数；

输入格式:

输入第1行给出正整数K (≤)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:

6

-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:20

算法描述：

利用分治法的思想，将一组数字分为左右两部分，则所求有如下三种情况

1. 所求序列完全在左边
2. 所求序列完全在右边
3. 所求序列横跨两边

PS：递归算法在子序列仅有一个数时停下。

        通过递归，不断地调用maxsum函数，求出左半部分的最大子序列和右半部分的最大子序列和。

        再求左半部分包括最后一个元素的最大值和右半部分包括第一个元素的最大值。

        比较左半部分的最大子序列和，右半部分的最大子序列和左半部分包括最后一个元素的最大值+右半部分包括第一个元素的最大值。

算法时间及空间复杂度分析：

每次把大问题分为两个子问题，每个子问题为原问题长度1/2，利用两个循环体，分别为从头部到中间，一个为从中间到尾部，故加起来时间复杂度为O（n），利用主定理去求解 T(n) = 2*T(n/2) + O(n)，时间复杂度O(n*logn) 。

因为不借助辅助数组，故空间复杂度为O(1)。

/*lmax表示左边序列中的最大子序列
  rmax表示右边序列中的最大子序列
  lefts表示从center起到left位置的序列和
  s1表示从center起往left位置的最大序列和
  rights表示从center+1起到right位置的序列和
  s2表示从center+1起往right位置的最大序列和
  */ 
#include <iostream>
using namespace std;
int maxsum(int *a,int left,int right)
{
    int sum=0;
    if(left==right)
        sum=a[left]>0?a[left]:0;//极限情况，即仅有一个数字 
    else{
    int mid = (left+right)/2;
    int lmax=maxsum(a,left,mid);
    int rmax=maxsum(a,mid+1,right);//递归调用，减小序列，直到所求数 
    int s1=0;
    int lefts=0;
    for(int i=mid;i>=left;i--){
        lefts+=a[i];
        if(lefts>s1)
            s1=lefts;
    }
    int s2=0;
    int rights=0;
    for(int i=mid+1;i<=right;i++){
        rights+=a[i];
        if(rights>s2)
            s2=rights;
    }
    sum=s1+s2;
    if(sum<lmax)
        sum=lmax;
    if(sum<rmax)
        sum=rmax;
    }
    return sum;
}
int MaxSum(int K,int *a){
    return maxsum(a,0,K);
}
int main(){
    int K;
    cin>>K;
    int a[1000000];
    for(int i=0;i<K;i++){
        cin>>a[i];
    }
    cout<<MaxSum(K,a)<<endl;
    return 0;
} 

心得体会：

考虑极端情况，如数组仅有一个数时。