方差分析（1）

一、方差分析问题的提出

问题：消费者与供应厂商间经常出现纠纷。纠纷发生后，消费者经常会向消费者协会投诉。消协对以下几个行业分别抽取几家企业，统计最近一年中投诉次数，以确定这几个行业的服务质量是否有显著的差异。结果如下表：

 

二、概念：方差分析简称ANOV（Analysis of Variance）

该统计分析方法能一次性地检验多个总体均值是否存在显著差异。

H0：

 

H1：

不全等。

（一）因素。

因素又称因子，是在实验中或在抽样时发生变化的“量”，通常用A、B、C、…表示。方差分析的目的就是分析因子对实验或抽样的结果有无显著影响。如果在实验中变化的因素只有一个，这时的方差分析称为单因素方差分析；在实验中变化的因素不只一个时，就称多因素方差分析。双因素方差分析是多因素方差分析的最简单情形。

（二）水平。

因子在实验中的不同状态称作水平。如果因子A有r个不同状态，就称它有 r 个水平，可用表示。我们都针对因素的不同水平或水平的组合，进行实验或抽取样本，以便了解因子的影响。

（三）交互影响。

当方差分析的影响因子不唯一时，必要注意这些因子间的相互影响。如果因子间存在相互影响，我们称之为“交互影响”；如果因子间是相互独立的，则称为无交互影响。交互影响有时也称为交互作用，是对实验结果产生作用的一个新因素，分析过程中，有必要将它的影响作用也单独分离开来。

 

三、方差分析的原理

（一）方差的分解。

样本数据波动就有二个来源：一个是随机波动，一个是因子影响。样本数据的波动，可通过离差平方和来反映，这个离差平方和可分解为组间方差与组内方差两部分。组间方差反映出不同的因子对样本波动的影响；组内方差则是不考虑组间方差的纯随机影响。

离差平方和的分解是我们进入方差分析的“切入点”，这种方差的构成形式为我们分析现象变化提供了重要的信息。如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因子是引起波动的主要原因，可以认为因子对实验的结果存在显著的影响；反之，如果波动的主要部分来自组内方差，则因子的影响就不明显，没有充足理由认为因子对实验或抽样结果有显著作用。

（二）均方差与自由度

因素或因素间“交互作用”对观测结果的影响是否显著，关键要看组间方差与组内方差的比较结果。当然，产生方差的独立变量的个数对方差大小也有影响，独立变量个数越多，方差就有可能越大；独立变量个数越少，方差就有可能越小。为了消除独立变量个数对方差大小的影响，我们用方差除以独立变量个数，得到“均方差（Mean Square）”，作为不同来源方差比较的基础。引起方差的独立变量的个数，称作“自由度”。

检验因子影响是否显著的统计量是一个F统计量：

F统计量越大，越说明组间方差是主要方差来源，因子影响越显著；F越小，越说明随机方差是主要的方差来源，因子的影响越不显著。