【微积分】第二讲一元函数微分学

第二讲一元函数微分学

一、导数定义

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

导数存在的充要条件

\[f'(x) \,\exists \iff f'_-(x_0) = f'_+(x_0) \]

左导数 $f'_-(x_0) - \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 +\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
右导数 $f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 +\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

插值形式

\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]
$\Delta x$ 的广义化

\[f'(x_0) = \lim_{狗 \to 0} \frac{f(x_0 +狗) - f(x_0)}{狗} \]
一静一动原则
例如 $\lim_{2\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 - \Delta x)}{2\Delta x} \ne f'(x_0)$ （不成立）

二、基本求导公式

$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$
$(a^x)' = a^x \ln{a}$
$(e^x)' = e^x \ln{e} = e^x$
$(\ln{x})' = \frac{1}{x}$
$(\sin{x})' = \cos{x}$
$(\cos{x})' = - \sin{x}$
$(\tan{x})' = \sec^2{x}$
$(cot{x})' = -\csc^2{x}$
$(\sec{x})' = \sec{x} \tan{x}$
$(\csc{x})' = -\csc{x} \cot{x}$
$(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arccos{x})' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan{x})' = \frac{1}{1+x^2}$
$(\arccot{x})' = -\frac{1}{1+x^2}$
$[\ln{(x + \sqrt{x^2+1})}]' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$[\ln{(x + \sqrt{x^2-1})}]' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

三、基本求导方法

3.1 复合函数求导

\[\{f[g(x)]\}' = f'[g(x)] g'(x) \]

3.2 隐函数求导

$F(x,y) = 0$

3.3 对数求导

对于多项相乘、多项相除、开方、乘方的式子，先取对数，再求导
$(\ln{|u|})'_x = \frac{1}{u} \cdot u'$

3.4 反函数求导

3.5 参数方程求导

3.6 高阶导数

四、中值定理

4.1 定理总结

4.1.1 涉及 $f(x)$ 的定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则

有界性定理

\[\exists K \gt 0 ,\, |f(x)| \le K ,\, \forall x \in[a,b] \]

最值定理

\[m \le f(x) \le M ,\, m = \min{f(x)} ,\, M = \max{f(x)} ,\, \forall x \in [a,b] \]

介值定理
若 $m \le \mu \le M$，则 $\exists \xi \in [a,b]$，使 $f(\xi) = \mu$
零点定理
若 $f(a) \cdot f(b) \lt 0$，则 $\exists \xi \in (a,b)$，使 $f(\xi) = 0$

4.1.2 涉及 $f'(x)$ 的定理

费马定理
若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导且能取极值，则 $f'(x_0) = 0$
罗尔定理
若 $f(x)$ 满足以下三个条件：
- 在 $[a,b]$ 上连续
- 在 $(a,b)$ 内可导
- $f(a) = f(b)$

则 $\exists \xi \in (a,b)$，使 $f'(\xi) = 0$

拉格朗日中值定理
若 $f(x)$ 满足以下两个条件：
- 在 $[a,b]$ 上连续
- 在 $(a,b)$ 内可导

则 $\exists \xi \in (a,b)$，使 $f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

（罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例）

柯西中值定理
设 $f(x)$和 $g(x)$ 满足条件：
- 在 $[a,b]$ 上连续
- 在 $(a,b)$ 内可导
- $g'(x) \ne 0$

则 $\exists \xi \in (a,b)$，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

若 $g(x) = x$，则 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{1}$，即拉格朗日中值定理

柯西 > 拉格朗日 > 罗尔

泰勒公式
任何可导函数 $f(x) = \sum a_n x^n$
- 带拉格朗日余项的Taylor公式
  \[f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ,\, \xi \in(x,x_0) \]
```
如：若 $f(x)$ 三阶可导，则
$f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(\xi)}{3!}(x-x_0)^3$
其中，当 $x_0 = 0$ 时，则得到**麦克劳林公式**
$f(x) = f(0) +f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(\xi)}{3!}x^3 ,\, \xi \in (x,0)$
```
- 带佩亚诺余项的Taylor公式（$f(x)$ n阶可导）
  \[f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o[(x-x_0)^n] \]
```
如：当 $f(x)$ 三阶可导时，
$f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + o[(x-x_0)^3]$
其中，若 $x_0 - 0$，则得到**麦克劳林公式**
$f(x) = f(0) +f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + o(x^3)$
```
- 常用麦克劳林公式
  - \[e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + ... + \frac{1}{n!}x^n + o(x^n) \]
  - \[\ln{(1+x)} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... + (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} + o(x^{n+1}) \]
  - \[\sin{x} = x - \frac{1}{3!}x^3 + ... + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) \]
    $\sin{x} = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$
  - \[\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ... + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}) \]
  - \[(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + ... + \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha -n+1)}{n!} x^n + o(x^n) \]
  - \[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... + x^n + o(x^n) \]
  - \[\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - ... + (-1)^n x^n + o(x^n) \]

4.2 五大方面的应用

涉及 $f(x)$ 的应用
罗尔定理的应用
$F(a) = F(b) \Rightarrow F'(\xi) = 0$
- 构造辅助函数 $F(x)$
  - 求导公式 $(u \cdot v)' = u'v+uv'$ 逆用
    - 见 $F'(\xi)=f'(\xi)\cdot \xi+f(\xi)=0$，构造 $F(x)=f(x)x$
    - 见 $F'(\xi)=[f'(\xi)+f(\xi)]e^{\xi}=0$，构造 $F(x)=f(x) e^x$
    - 见 $F'(\xi)=[f'(\xi)+f(\xi) \varphi'(\xi)] e^{\varphi(\xi)}=0$，构造 $F(x)=f(x) e^{\varphi(x)}$
    - 见 $F'(\xi)=f''(x)+g(x)f'(x)=0$,构造 $F(x)=f'(x) e^{\int g(x)\text{d}x}$
    - 见 $F'(\xi)=f(x)+g(x) \int_0^x f(t)\text{d}t =0$，构造 $F(x)=\int_0^x f(t)\text{d}t \cdot e^{\int g(x) \text{d}x}$
    - 见 $F'(\xi)=f'(x)+g(x)[f(x)-1]=0$，构造 $F(x)=[f(x)-1] \cdot e^{\int g(x)\text{d}x}$
  - 积分还原法
    1. 将欲证结论中的 $\xi$ 改为 $x$
    2. 积分之（为了简单，令 $c=0$）
    3. 移项使等式一端为0，另一端记为 $F(x)$
拉氏中值定理的应用
$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 或 $f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$
命题角度：
- 将 $f$ 复杂化（构造 $F(x)$）
- 给出相对高阶条件，证低阶不等式
- 给出相对低阶条件，证高阶不等式
- 具体化函数 $f$
柯西中值定理的应用
$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} ,\, \frac{f-抽象}{g-具体}$
- 双中值（$\zeta ,\, \eta$），有可能相等？
  1. 无 $\zeta \ne \eta$ 要求：在同一区间 $[a,b]$ 上用两次中值定理
  2. 有 $\zeta \ne \eta$ 要求：将区间 $[a,b]$ 分为 $[a,c]$ 和 $[c,b]$
泰勒公式的应用
展开成高阶

五、导数的几何应用

5.1 极值与单调性

极值定义
- 广义极值
  存在 $x_0$ 的某个邻域，$\forall x \in U(x_0,\delta) ,\, f(x) \le f(x_0)$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的广义极大值点
- 严格极值
  存在 $x_0$ 的某个去心邻域，$\forall x \in \mathring{U}(x_0,\delta) ,\, f(x) \lt f(x_0)$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的严格极大值点
单调性与极值判别
- 判法一：
  若 $f'(x) \gt 0 ,\, \forall x \in I$，则 $f(x)$递增
- 判法二：
  若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 内可导，
  1. 在 $(x_0-\delta,x_0)$ 内 $f'(x) \lt 0$，在 $(x_0,x_0+\delta)$ 内 $f'(x) \gt 0$，则有极小值
  2. 在 $(x_0-\delta,x_0)$ 内 $f'(x) \gt 0$，在 $(x_0,x_0+\delta)$ 内 $f'(x) \lt 0$，则有极大值
- 判法三：
  若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导，$f'(x_0)=0$，$f''(x_0) \ne 0$
  1. $f''(x) \gt 0$，极小
  2. $f''(x) \lt 0$，极大
```
> 证：
> 泰勒展开，得 $f(x) = f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2} (x-x_0)^2 + o[(x-x_0)^2]$
> 因 $f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) \gt 0$
> 故 $f(x) - f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{2} (x-x_0)^2 + o[(x-x_0)^2] \gt 0$
> $x=x_0$ 处取极大值
```

5.2 凹凸性与拐点

凹凸性
$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \gt f(\frac{x_1+x_2}{2}) \iff$ 凹
$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \lt f(\frac{x_1+x_2}{2}) \iff$ 凸
- 判别方法
  设 $f(x)$ 在 $D$ 上二阶可导
  - 若 $f''(x) \gt 0 ,\, \forall x \in D$，则 $f(x)$ 凹
  - 若 $f''(x) \lt 0 ,\, \forall x \in D$，则 $f(x)$ 凸
拐点
连续曲线凹凸弧的连接点（分界点）
- 判别方法
  1. 设 $f(x)$ 在 $D$ 上二阶可导
    若 $f‘’(x)$ 在 $x_0$ 点的左右邻域内变号，则 $(x_0,f(x_0))$是拐点
  2. 设 $f(x)$ 在 $D$ 上三阶可导
    若 $f''(x_0) = 0$，$f'''(x_0) \ne 0$，则 $(x_0,f(x_0))$是拐点
渐近线
- 铅锤渐近线
  若 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$ 或$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$
  则 $x = x_0$ 为铅锤渐近线
  （一般出现在：无定义点或区间端点）
- 水平渐近线
  若 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = A$ 或 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = A$
  则 $y=A$ 为水平渐近线
- 斜渐近线
  若 $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a \ne 0$，且 $\lim_{x \to \pm \infty} |f(x)-ax| = b$ 存在，
  则 $y = ax+b$ 是 $f(x)$ 的一条斜渐近线
最值
- 闭区间 $[a,b]$ 上连续函数 $f(x)$ 的最值
  1. 求 $f'x)=0$（驻点）、$f'(x)$不存在（不可导点）、$f(a)$和$f(b)$（端点）
  2. 比较以上所求得的函数值，得
    最大值 $\max(f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)$，
    最小值 $\max(f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)$
- 开区间 $(a,b)$
  记 $\lim_{x \to a^+} f(x) = A$，$\lim_{x \to b^-} f(x) = B$
  比较驻点、不可导点和A、B的值

六、逻辑（证明）

6.1 中值定理

研究对象的复杂化
区间的复杂化

6.2 方程的根 $f(x)=0$

存在性
1. 零点定理 $f(a)f(b) \lt 0 \iff f(\xi)=0$
2. 罗尔定理 $f'(\xi)=0$
唯一性
- 单调性
- 罗尔定理：
  若 $f'(x)=0$ 至多0个根，则 $f(x)=0$ 至多1个根
  若 $f^{(n)}(x)=0$ 至多k个根，则 $f^{(n-1)}(x)=0$ 至多 $k+1$ 个根

七、微分

真实增量 $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$
线性增量 $A \Delta x = f'(x_0) \Delta x$
使 $\Delta y - A \Delta x = o(\Delta x)$（即真实增量与线性增量之差远小于$\Delta x$）
则 $f(x)$ 在 $x_0$处可微，$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = A = f;(x_0)$
$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$（增量=线性主部+误差）
$\mathrm{d}y = A \Delta x = y'(x_0) \Delta x = A \mathrm{d}x$
可导：该店处的瞬时变化率存在
可微：$\Delta x \to 0$时，可用直线代替曲线

posted @ 2017-08-31 19:41 4thirteen2one 阅读(1338) 评论(0) 编辑收藏举报

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【微积分】第二讲一元函数微分学

第二讲一元函数微分学

一、导数定义

二、基本求导公式

三、基本求导方法

3.1 复合函数求导

3.2 隐函数求导

3.3 对数求导

3.4 反函数求导

3.5 参数方程求导

3.6 高阶导数

四、中值定理

4.1 定理总结

4.1.1 涉及 \(f(x)\) 的定理

4.1.2 涉及 \(f'(x)\) 的定理

4.2 五大方面的应用

五、导数的几何应用

5.1 极值与单调性

5.2 凹凸性与拐点

六、逻辑（证明）

6.1 中值定理

6.2 方程的根 \(f(x)=0\)

七、微分

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第二讲 一元函数微分学

一、导数定义

二、基本求导公式

三、基本求导方法

3.1 复合函数求导

3.2 隐函数求导

3.3 对数求导

3.4 反函数求导

3.5 参数方程求导

3.6 高阶导数

四、中值定理

4.1 定理总结

4.1.1 涉及 \(f(x)\) 的定理

4.1.2 涉及 \(f'(x)\) 的定理

4.2 五大方面的应用

五、导数的几何应用

5.1 极值与单调性

5.2 凹凸性与拐点

六、逻辑（证明）

6.1 中值定理

6.2 方程的根 \(f(x)=0\)

七、微分

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