二分图(图论)

use1：解决矩阵横纵坐标(或者抽象成这样的关系)相互关联，求最少约束方案数量

E

给出一张由方块组成的地图。方块有许多种：墙，草，和空地。老板想让Robert在地图上放置尽可能多的机器人。每个机器人拿着一把激光枪，它可以同时向东西南北四个方向射击。机器人必须一直呆在它开始时被放在的位置并且不断地射击。激光束当然可以经过空地或草地，但不能穿过墙。机器人只能被放在空地上。当然老板不希望看到机器人相互攻击。换句话说，两个机器人不能被放在一条线上（竖直或水平），除非它们中间有一堵墙。

由于你是一位机智的程序员和Robert的好基友之一，他请你帮他解决这个问题。也就是说，给出地图的描述，计算地图上最多能放置的机器人数量。

输入格式

输入文件的第一行有两个正整数m,n（1<=m,n<=50），即地图的行数和列数。

接下来有m行，每行n个字符，这些字符是'#','*'或'o'，它们分别代表墙，草和空地。

输出格式

输出一行一个正整数，即地图中最多放置的机器人数目

横纵坐标为二分图两侧，对于墙也就意味着点不能够共享横纵坐标，分开就行

const int N=70;
struct node
{
    int xx, yy;
    node(){
    }
    node(int xxx,int yyy)
    {
        xx=xxx;yy=yyy;
    }
};
int x_add[N][N],y_add[N][N],n,m,x[N][N],y[N][N];
char s[N];
vector<node>pos;
struct node2
{
    int to,nxt;
}e[N*N];
int head[N*N],tot;
int max_x;
inline void add(int _x,int _y)
{
    e[++tot].to=_y,e[tot].nxt=head[_x],head[_x]=tot;
}
int mach[N*N],vis[N*N];
bool dfs(int x,int fa)
{
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int u=e[i].to;
        if(u==fa)continue;
        if(!vis[u])
        {
            vis[u]=1;
            if(!mach[u]||dfs(mach[u],u))
            {
                mach[u]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int siz=0;
void deal()
{

    _f(i,0,siz-1)
    {
        int x_p=x[pos[i].xx][pos[i].yy],y_p=y[pos[i].xx][pos[i].yy];
        add(x_p,y_p+max_x);
        add(y_p+max_x,x_p);//连边
    }
    //跑匈牙利
    int ans=0;
    _f(i,1,max_x)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(dfs(i,0))ans++;
    }
     chu("%d",ans);
     return;
}
int main()
{
    //freopen("exam.txt","r",stdin);
    m=re(),n=re();
    _f(i,1,m)
    {
        scanf("%s",s+1);
        _f(j,1,n)
        {
            if(s[j]=='#')//是墙
            {
                x_add[i][j]+=1;
                y_add[i][j]+=1;
                //if(j==4)chu("y[%d][%d]+=1",i,j);
            }
            else if(s[j]=='o')
            {
                siz++;
               // chu("siz:%d\n",siz);
                pos.push_back(node(i,j));
            }
        }
    }
    //chu("%d\n",y_add[2][4]);
    //处理行位置坐标列加
    _f(i,1,m)//对于这一行
    {
        _f(j,1,n)
        {
            x_add[i][j]+=x_add[i][j-1];//前缀和
            x[i][j]=i+x_add[i][j];
        }
        x_add[i+1][1]+=x_add[i][n];//别忘了把上一行的累加传下去
    }
    max_x=m+x_add[m][n];
    _f(i,1,n)//对于每一列 ,i是列！！！
    {
        _f(j,1,m)//m是行！！
        {
            y_add[j][i]+=y_add[j-1][i];
            //if(i==4)chu("add[%d][%d]:%d(2,4 %d)\n",j,i,y_add[j][i],y_add[2][4]);

            y[j][i]=i+y_add[j][i];
            //if(i==4)chu("y[%d][%d]=%d+(add)%d\n",j,i,i,y_add[j][i]);
        }
        y_add[1][i+1]+=y_add[m][i];
    }

    //return 0;
    deal();
    return 0;
}

use2：解决求无向图最多孤立点问题，任意一点无边联通（有向图不知道）

是从一个无向图里找出几个点使得他们没有边联通

F猫和狗

F. 猫和狗 - 二分图 - 比赛 - 衡中OI (hszxoj.com)

把喜好有矛盾的两个人连一条边（没有环），跑一边匈牙利找最大匹配max(除2！)

ans=n(人的数量)-max，

就是最多选的人数，保证他们之间没有任意一条路径连通，一定不存在矛盾

use3：最小路径覆盖，有向无环图

最小路径覆盖：、

题目概述：

给你一个有向无环图，有n个点，m条有向边。

一个机器人可以从任意点开始沿着边的方向走下去。对于每一个机器人：走过的点不能再走过。

问你最少用几个机器人可以走完所有的n个点，不同的机器人可以走相同的点。

用尽量少的不相互交叉简单路径覆盖有向无环图Ｇ的所有结点(不交叉指的是原图，而非后来构造的二分图)。即覆盖点(同样地，在路径覆盖中单独一个点没有与它相连的边，也算作一次路径去覆盖这个点)。建立一个二分图模型，把所有顶点i拆成两个：Ｘ集中的i和Y集中的i',如果有边i->j，则在二分图中引入边i->j'，结果就是最小路径覆盖 = N - 最大匹配数。（N为原图中结点数）

最小路径覆盖和最小边覆盖不同，不要求给的图是二分图，而是要求是N×N的有向图，且不能有环，然后根据原图构造二分图，构造方法是将点一分为二，如：i分为i`和i``然后如果i和j有边，那么就在i`和j``之间连一条边。由此构成二分图。

然后最小路径覆盖 = n-m，n为原图的点的个数，m为新造二分图的最大匹配。

若是题目要求可多次经过一个点的最小路径覆盖呢？

解决的办法是对原图进行一次闭包传递(通过Warshell传递闭包算法)，于是便增加了边，然后再去求最小路径覆盖。

传递闭包概念：

一个有n个顶点的有向图的传递闭包为：有向图中的初始路径可达情况我们存入邻接矩阵A，邻接矩阵中A[i,j]表示i到j是否直接可达，若直接可达，则A[i,j]记为1，否则记为0；有向图中i到j有路径表示从i点开始经过其他点（或者不经过其他点）能够到达j点，如果i到j有路径，则将T[i,j]设置为1，否则设置为0；有向图的传递闭包表示从邻接矩阵A出发，求的是所有节点间的路径可达情况，该T矩阵就为所要求的传递闭包矩阵。（用floyed解决·）
最小路径覆盖问题求解及与最小边覆盖的区别_薄层的博客-CSDN博客_最小边覆盖