二次剩余及欧拉准则

 

前置知识

  • 阶(次数):ep(a):使得ae≡1(mod p)的最小指数e(e≥1),称为a模p的阶(次数)。
  • 原根:具有最高次数ep(g)≡p-1(mod p)的数g(g>1)成为模p的原根。
  • 原根定理:每个素数都有且恰有φ(p-1)个原根。
  • 指标:原根的幂g,g2,g3,g4,......中与a mod p恰好一个同余的数,相应的指数I称为以g为底的a模p的指标。
  • 指标的乘法定理:I(ab)=I(a)+I(b)(mod p-1)

 

               二次剩余

  • 定义:与一个平方数模p同余的非零数成为模p的二次剩余,不与任何一个平方数模p同余的数称为模p的非二次剩余。 

                 二次剩余表示为QR,二次非剩余表示为NR。

      勒让德符号:$\left ( \frac{a}{p} \right )$={                   1(a为模p的二次剩余)

                                                          -1(a为模p的非二次剩余)           }

 


 

  •   定理1:设p是一个奇素数,则恰有 $\frac{p-1}{2}$个模p的二次剩余,且恰有$\frac{p-1}{2}$个模p的二次非剩余。

 反证法证明:   根据二次剩余定义:

                          二次剩余是这样一些数:12,22,32,......,(p-1)2(mod p)

                          又∵ (p-b)2=p2+2pb+b2≡b2(mod p)

                        ∴12,22,32,......,$\left ( \frac{p-1}{2} \right )$2$\left ( \frac{p+1}{2} \right )$2,$\left ( \frac{p+3}{2} \right )$2,$\left ( \frac{p+5}{2} \right )$2,......,(p-1)2(mod p)在数值上相等

                          设1≤a,b≤ $\frac{p-1}{2}$,且a2≡b2(mod p),且a≠b

                          则(a-b)(a+b)≡0(mod p)

                          但∵2≤a+b≤p-1,2≤a-b≤p-1,a≠b

                           ∴(a-b)(a+b)≡0(mod p)不成立

                           故12,22,32,......,$\left ( \frac{p-1}{2} \right )$2(mod p)各不相同

                           又∵1-p有p-1个数

                          ∴恰有 $\frac{p-1}{2}$个模p的二次剩余,且恰有$\frac{p-1}{2}$个模p的二次非剩余。

                Q.E.D. 


  •  定理2:设g为模p的原根,g,g2,g3,......,gp-1给出了模p所有的非零剩余。

                                  根据原根定义:g>1

                                 又∵g的偶次幂g2k都可以表示为gk*2

                                 ∴g的偶次幂都是平方数且各不相同

                                 又∵个数恰是$\frac{p-1}{2}$个

                                  ∴ g的偶次幂表示出了模p的所有二次剩余

                                  又∵gk与g2*k 对应不同

                                   ∴g的奇次幂表示模p的所有的二次非剩余

 Q.E.D.


 

  • 二次剩余乘法法则:QR*QR=QR,NR*QR=NR,NR*NR=NR.

                根据定理2可以得出:指标为偶数(mod p)的数是模p的二次剩余,指标为奇数(mod p)的数是模p的二次非剩余。

                  又∵指标的乘法定理

                 ∴QR*QR=QR,NR*QR=NR,NR*NR=NR.

                                    Q.E.D.

 


 

 

欧拉准则

  • a(p-1)/2$\left ( \frac{a}{p} \right )$(mod p)

                分类讨论:①若a是模p的二次剩余

                                 则a的指标是偶数

                                 a≡g2k(mod p)

         a(p-1)/2≡gk*(p-1)≡1k≡1(mod p)

                               ②若a是模p的二次非剩余

                                 则a的指标是奇数

                                 a≡g2k+1(mod p)

                                 a(p-1)/2≡gk*(p-1)+(p-1)/2≡g(p-1)/2(mod p)

                               ∵g是模p的原根

                               ∴g(p-1)/2≡-1(mod p)

Q.E.D.

 


update:勒让德双平方数定理

对于给定的正整数N:

$D_{1}$=(整除N且满足d≡1(mod 4)正整数d的个数

$D_{2}$=(整除N且满足d≡3   (mod 4)的正整数d的个数

则将N正好表示成两个平方数(顺序不同算两种)的方案数=4($D_{1}$-$D_{2}$


 

参考资料:《数论概论》(Joseph H .silverman著 第三版)

posted @ 2019-05-01 16:23  3200Phaethon  阅读(1110)  评论(6编辑  收藏