莫队

• upd on 10.13：修改了假完的复杂度分析。

考虑一个这样的问题：

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)。\(q\) 次静态询问。每次给定一个区间 \(l, r\)，求解这个区间的某种属性。允许离线。

一般来说暴力做复杂度是 \(\mathcal O(nq)\) 甚至更高的。比如说如果要求解区间颜色数（即有多少种不同的数），那么需要维护一个桶统计每种数字的出现次数。然后维护一个指针，从 \(l\) 往 \(r\) 扫描，每扫到一个数就更新桶，并尝试更新答案。

int cnt[N], res;

for (int i = l; i <= r; ++ i ) {
    if (!cnt[a[i]]) res ++ ;
    cnt[a[i]] ++ ;
}

这个“扫描”的过程可以这样理解：如果我们已经解决了 \([l, r]\) 的询问，维护好了统计每个数字的出现次数的桶，那么我们可以用 \(\mathcal O(1)\) 的时间复杂度更新表示 \([l, r+1]\) 的桶，以及求解 \([l, r+1]\) 的答案。

同理，如果已经处理好了 \([l, r]\) 的询问，那么 \([l, r\pm 1],[l \pm 1, r]\) 也可以 \(\mathcal O(1)\) 的更新桶、求答案。

那么如果上一次询问的区间是 \([l, r]\)，下一次询问的区间是 \([l',r']\)，那么我们可以用上面的方法，每次让一个端点加减 \(1\)，就可以在 \(|l-l'|+|r-r'|\) 步内得到新的答案。

事实上，如果我们把一次 \([l, r]\) 的询问看作是平面上 \((l, r)\) 这个点，那么从上一次询问 \([l, r]\) 拓展到下一次询问 \([l', r']\) 的复杂度，就等于平面上 \((l, r)\) 和 \((l', r')\) 的曼哈顿距离。

显然截至目前我们并没有将复杂度从暴力的 \(\mathcal O(nq)\) 优化下来，因为任意两个点的曼哈顿距离都是 \(\mathcal O(n)\) 级别的。但是注意到询问允许离线，也就是我们可以任意调换处理询问的顺序。那么是否存在一种处理询问的顺序使得可以证明它的复杂度小于 \(\mathcal O(nq)\) 呢？

现在的问题是：

平面上有 \(q\) 个点，每个点横纵坐标都在 \([1, n]\) 内。现在要求从某个点开始游走，要求遍历到每个点，且走的总距离（也就是每相邻两个点的曼哈顿距离）最小。

第一个想法是，如果所有点的纵坐标都随横坐标的增大而增大，那么我们只需要从横纵坐标最小的那个点出发，一直向右或向上走。这样总共向上走 \(\mathcal O(n)\) 次，向右走 \(\mathcal O(n)\) 次，总复杂度就是 \(\mathcal O(n)\) 的。事实上这就是双指针的思想。

显然题目并没有保证这个优美的性质。于是我们考虑将点分成若干组，每组内尽量满足这个性质。

分组的方法是这样的：我们将横坐标（对应回区间就是左端点）接近的点分成一组。具体的，我们设置一个阈值 \(B\)，将横坐标在 \([1,B]\) 内的点分在同一组，在 \([B+1,2B]\) 内的点分在同一组，在 \([2B+1,3B]\) 内的点分在同一组，以此类推。显然所有点被分成了 \(\mathcal O\left(\dfrac nB\right)\) 个组。

然后我们将组内的点按照纵坐标（对应回区间就是右端点）从小到大排序，即按照纵坐标从小到大遍历每个点，也即每个组内只往上走不往下走。

图来自 Gu_Pigeon。

这样虽然也没法在组内实现「所有点的纵坐标都随横坐标的增大而增大」，但是每当下一个点的横坐标出现问题（即这个点的横坐标比上一个点的横坐标大）时，我们也只需要用 \(\mathcal O(B)\) 步就能解决。感觉上复杂度是很优秀的。

具体地我们分析这个做法也就是莫队算法的复杂度。分为几部分：

• 某块内：
  • 向上移动：因为一块内的点纵坐标递增，所以一组内总共向上移动 \(\mathcal O(n)\) 次。总共 \(\mathcal O\left(\dfrac nB n\right)\)；
  • 左右移动：从一个点到下一个点，不可能移动超过 \(B\) 次否则就超出这个块了。总共 \(\mathcal O(qB)\)。
• 两块之间：
  • 上下移动：总共 \(\mathcal O\left(\dfrac nB n\right)\)。
  • 左右移动：一次最多移动 \(2B\) 次。总共 \(\mathcal O\left(\dfrac nB B\right)\)。

综上总复杂度为 \(\mathcal O\left(\dfrac{n^2}B + qB\right)\)。当 \(B=\dfrac n{\sqrt q}\) 时达到最优 \(\mathcal O(n \sqrt q)\)。