跳一跳

\(n=1e7\)的部分考虑线性递推
设当前位置为\(x\),期望为\(E(x)\)
显然由定义可以知道：

\[E(i)=\frac{1}{n-i+1}\cdot E(i)+\frac{1}{n-i+1}\cdot \sum\limits ^n_{j=i+1}E(j)+1 \]

后边的常数项\(1\)就是直接跳一步，但是是约分出来的
移项，得：

\[\frac{n-i}{n-i+1}E(i)=1+\frac{1}{n-i+1}\cdot \sum\limits ^n_{j=i+1}E(j) \]

系数化为\(1\):

\[E(i)=\frac{n-i+1}{n-i}+\frac{1}{n-i}\cdot \sum\limits ^n_{j=x+1}E(j) \]

于是这一部分就是\(O(n)\)的做法了
但是还有分段打表的做法，依据是这个式子：

\[E(x)=1+\sum\limits^{n-1}_{i=1}\frac{1}{i} \]