莫比乌斯反演学习笔记

莫比乌斯反演是个很玄学的东西，这里面的东西我都证明不来。
众所周知，oier只需要结论而不需要证明
首先定义莫比乌斯函数\(μ(i)\)这个函数取值是这样的:
当\(i=1\)时，\(\mu(i)=1\)
当\(i=\prod\limits_{i\leq k} p_i\)时且\(p_i\)为两两不同的质数，\(\mu(i)=(-1)^k\)
若都不满足，\(\mu(i)=0\)
接下来可以看莫比乌斯反演的定理:
对于两个定义在非负整数集合上的函数\(F(i)\)与\(f(i)\)且满足\(F(n)=\sum\limits_{d|n}{f(d)}\)，那么还满足\(f(n)=\sum\limits_{d|n}{\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)}\)
具体怎么证明我也不知道。
那么这个就可以拿来做题了。
一道例题:[POI2007]ZAP-Queries
先看\(\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{m}{[gcd(i,j)==1]}}\)怎么做。
套公式有\(\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{m}{\sum\limits_{d|gcd(i,j)}{\mu(d)}}}\)
枚举\(d\)，有\(\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}{\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\)
整除分块可以做到\(O(\sqrt n)\)
再考虑加上\(k\)怎么做。
发现只要先除掉就好了。
莫比乌斯反演记结论即可。主要难在于式子难推。