【XSY2985】【BZOJ1367】【Baltic2004】sequence

考虑两种情况：

1.\(a_1\)<\(a_2\)<\(a_3\)<\(a_4\)...<\(a_n\)

直接令\(b_i\)=\(a_i\),最小。

2.\(a_1\)>\(a_2\)>\(a_3\)>\(a_4\)...>\(a_n\)

初一的一道绝对值题是这题的弱化版。

给定\(a_1\),\(a_2\)...\(a_n\),求一点x，使得\(abs(a_1-x)\)+\(abs(a_2-x)\)...+\(abs(a_n-x)\)值最小

直接求中位数即可（初一的知识——绝对值）

同理，关于2.我们令\(b_i\)取1到i中位数即可。

那么这道题我们就可以看做是许多个严格递减的序列，每一个序列的答案我们是可以知道的。所以我们所要做的就是合并答案即可。

怎么维护每一次合并呢？

我们想到了左偏树。

对于左偏树，我们每放入一个新节点，我们就\(-=i\),使得原应严格下降的序列变成\(a_{i-1}>=a_i\),再判断新加入的节点是否符合这个规则，不符合就与上一个merge。

因为我们是要求中位数，所以节点的size不应超过它的范围的二分之一再\(+1\)，所以我们要一直\(size--\)，同时删除这个节点。

最后我们求答案即可。

注：因为我们一开始就减去了i，所以在如果要输出序列是要加上i。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct data
{
	int l,r,size,fa,val;
}s[1000001];
int val[1000001],n,k,cnt,ch[1000001][2],dis[1000001];
long long ans;
int merge(int x,int y)
{
	if(!x||!y)
	{
		return x+y;
	}
	if(val[x]<val[y])
	{
		swap(x,y);
	}
	ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
	if(dis[ch[x][0]]<dis[ch[x][1]])
	{
		swap(ch[x][0],ch[x][1]);
	}
	dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;
	return x;
}
int read()
{
	char ch=getchar();
	int sum=0,f=1;
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-')
		{
			f=-1;
		}
		ch=getchar();
	}
	while(ch<='9'&&ch>='0')
	{
		sum=sum*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return sum*f;
}
int main()
{
	n=read();
	dis[0]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		val[i]=read();
		val[i]-=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		s[++cnt]=(data){
			i,i,1,i,val[i] 
		};
		while(cnt!=1&&s[cnt-1].val>s[cnt].val)
		{
			cnt--;
			s[cnt].fa=merge(s[cnt].fa,s[cnt+1].fa);
			s[cnt].size+=s[cnt+1].size;
			s[cnt].r=s[cnt+1].r;
			while(s[cnt].size>(s[cnt].r-s[cnt].l+3)/2)
			{
				s[cnt].size--;
				s[cnt].fa=merge(ch[s[cnt].fa][0],ch[s[cnt].fa][1]);
			}
			s[cnt].val=val[s[cnt].fa];
		} 
	}
	int m=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i>s[m].r)
		{
			m++;
		}
		ans+=abs(s[m].val-val[i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	m=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i>s[m].r)
		{
			m++;
		}
		printf("%d ",s[m].val+i);
	}
	return 0;
}