2024山西中考数学第15题

如图，在 \(▱ABCD\) 中，\(AC\) 为对角线，\(AE⊥BC\) 于点 E，点 \(F\) 是 \(AE\) 延长线上一点，且 \(\angle ACF = \angle CAF\)，线段 \(AB\)，\(CF\) 的延长线交于点 \(G\)，若 \(AB=\sqrt{5}\)，\(AD=4\)，\(\tan \angle ABC=2\)，则 \(BG\) 的长为_________.

解析

勾股定理+建系

过程

解：由题得，\(AE=2\)，\(BE=1\)。

\(\because BC=4,BE=1\)

\(\therefore CE=3\)

在\(Rt△CEF\)中，\(\angle CEF=90°\)，

由勾股定理得，\(CE^{2}+EF^{2}=CF^{2}\)

设 \(EF=x\)，则 \(CF=x+2\)。

由题得 \(x^{2}+3^{2}=(x+2)^{2}\)

解得 \(x=\frac{5}{4}\)

\(\therefore EF=3\)

以点 \(E\) 为原点，\(BC\) 为 \(x\) 轴，\(AF\) 为 \(y\) 轴，建立平面直角坐标系

由题得，\(A(0,2),B(-1,0),C(3,0),F(0,-\frac{5}{4})\)

设 \(y=k_{1}x+b_{1}(k_{1}\neq0)\) 的图像经过点 \(A(0,2),B(-1,0)\)
由题得，
\( \begin{cases} b_{1}=2\\ -k_{1}+b_{1}=0 \end{cases} \)

解得
\( \begin{cases} k_{1}=2\\ b_{1}=2 \end{cases} \)

\(\therefore y_{AB}=2x+2\)

同理，\(y_{CF}=\frac{5}{12}x-\frac{5}{4}\)

联立两式得
\( \begin{cases} y=2x+2\\ y=\frac{5}{12}x-\frac{5}{4} \end{cases} \)

解得
\( \begin{cases} x=-\frac{39}{19}\\ y=-\frac{40}{19} \end{cases} \)

\(\therefore G(-\frac{39}{19},-\frac{40}{19})\)

又\(\because B(-1,0)\)

\(\therefore BG=\sqrt{[-1-(-\frac{39}{19})]^2+[0-(-\frac{40}{19})]^2}=\sqrt{(\frac{20}{19})^2+(\frac{40}{19})^2}=\sqrt{\frac{2000}{361}}=\frac{20\sqrt{5}}{19}\)

\(\therefore BG=\frac{20\sqrt{5}}{19}\)