素数筛

埃式筛法

\(Eratosthenes\) 筛法

埃拉托色尼选筛法，是古希腊数学家埃拉托色尼提出的一种筛选法。

该筛法基于这样的想法：任意大于1的正整数 \(x\) 的倍数 \(2x, 3x,...\) 都不是质数。根据质数的定义，上述命题显然成立。

从 2 开始，由小到达扫描每个 x ，把它的倍数 \(2x,3x,\cdots, \lfloor N/x\rfloor*x\) 标记为合数。

每当扫描到一个树时，若它尚未被标记，则它不能被\(2\sim x-1\) 之间的任何数整除，该数就是质数。

$Eratosthenes $ 筛法过程如下：

另外我们可以发现，2 和 3 都会把 6 标记为合数。实际上，小于 \(x^2\) 的 x 的倍数在扫描更小的数时就已经被标记过了。因此，我们可以对 \(Eratosthenes\) 筛法进行优化，只需要从 \(x^2\) 开始把 x 的倍数标记为 合数即可。

int prime[N], v[N], m;
void primes(int n){
    memset(v, 0, sizeof v);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(v[i] == 0){
            prime[++m] = i;
        }
	    for(int j=i;j<=n/i;j++) v[i*j] = 1;
    }
}

该算法复杂度为\(O(\sum_{质数p\le N}\frac{N}{p}) = O(N\log \log N)\) 。效率已经非常接近线性，是最常用的质数筛法

线性筛法

Eratosthenes 筛法利用的原理是 任意大于一的正整数 x 的倍数 2x，3x，... 等都不是质数 。

但是即便如此也会有重复标记的现象，例如12既会被2又会被3标记，在标记2的倍数时，\(12 = 6*2\)，在标记3的倍数时，\(12 = 4*3\) ，根本原因是没有找到唯一产生12的方式。

线性筛法的核心原理

每个合数必有一个最大因子（不包括它本身），用这个因子把合数筛掉

换言之：每个合数必有一个最小素因子，用这个因数把合数筛掉

过程

假设对于一个确定的整数 \(i\)，\(i\) 是一个合数 \(t\) 的最大因数，\(t\) 显然可能不唯一（例如 30 和 45 最大因数都是 15）。但是仔细想一想，必然有一个p，满足：

\[t = i * p ~~ (p\le i ,p是质数) \]

• \(p\)为什么一定小于等于 \(i\)？因为 \(i\) 是 \(t\) 的最大因数。
• 为什么 \(p\) 一定是质数？因为如果 \(p\) 是合数，那么 \(i\) 就一定不是 \(t\) 的最大因数，因为 \(p\) 可以再拆成若干素数相乘，这些素数再与 \(i\) 相乘会使该因数更大。

既然如此，我们只需要把所有小于 \(i\) 的质数 \(p\) 都挨个乘一次拿到所有合数就好了。可是，这样就不会有重复标记嘛？

会的，我们一不小心就忘记了最初的条件。我们要满足 \(i\) 是 \(t\) 的最大因数。如果 \(p\) 大于 \(i\) 的最小质因数，那 \(i\) 还是 \(t\) 的最大因数嘛？显然不是，任何一个合数 \(t\) 都能唯一分解为有限个质数的乘积，除去这其中最小的质因数，其他的都乘起来就是最大因数 \(i\) 。所以我们不能让 \(p\) 大于 \(i\) 的最小质因数（设为\(x\)），否则 \(i\) 将不再是 \(t = i*p\) 的最大因数，其最大因数应该是\(i*p/x\) 。

下面有两个版本，核心处理稍有一点点不同，理解即可。

版本一

• v[i] 表示 i 的最小质因数。如果i就是质数，那么v[i] = i
• prime[j] 表示第 j 个质数。与之前的筛法不同，这个数组是存放质数的，而不是标记质数的

#define MAXN 1000012
int prime[MAXN],v[MAXN];
int m=0;//m表示现在筛出m个质数
void primes(int n)
{
      for(int i=2;i<=n;i++)
      {
		if(v[i]==0)//如果v[i]为0，说明 i 之前没有被筛到过，i 为质数
		{
			v[i] = i;
                      prime[++m] = i;
		}
		for(int j = 1;j<=m;j++)//遍历小于 i 的所有质数
		{
                      //如果质数大于 i 的最小质因数或者乘起来大于n就跳出循环
			if(prime[j] > v[i] || prime[j] > n/i) break;
			v[i*prime[j]] = prime[j];//标记 i*prime[j] 的最小质因数是prime[j]
		}
      }
}

版本二

• v[i] i 为质数则为0，否则为 1
• prime[j] 与上面相同

#define MAXN 1000000
int prime[MAXN],v[MAXN];
int m=0;//m表示现在筛出m个质数
void primes(int n)
{
      v[1] = 1;//1不是质数，提前处理
      for(int i=2;i<=n;i++)
      {
            if(v[i]==0)//如果v[i]为0，说明 i 之前没有被筛到过，i 为质数
            prime[++m] = i;
            for(int j = 1;j<=m;j++)//遍历小于 i 的所有质数
            {
                  //乘起来大于就跳出循环
                  if(prime[j] > n/i) break;
                  v[i*prime[j]] = 1;//标记 i*prime[j] 的最小质因数是prime[j]
                  //当遇到最小的质数是i的因数时，break
                  if(i%prime[j]==0)break;
            }
      }
}