关于DNA双链种类数的小讨论

DNA计数

摘要

之前看到 \(jmh\)\(yyy\)\(zyl\) 一起写的博客,我也大概了解了一下这个问题:
因为碱基对有 \(A-T\)\(T-A\)\(C-G\)\(G-C\) 四种情况,所以长度为 \(n\) 的DNA双链有 \(4^n\) 种。

问题发现

出现了点小问题,比如如下两个 DNA 双链:

\[\begin{array}{|cc|} 3 \ \ \ \ \ 5\\ A-T \\ A-T \\ A-T \\ 5 \ \ \ \ \ 3\\ \end{array} \ \ \ \ \begin{array}{|cc|} 3 \ \ \ \ \ 5\\ T-A \\ T-A \\ T-A \\ 5 \ \ \ \ \ 3\\ \end{array} \]

它们的平面结构完全相同,并且因为 DNA 螺旋是右手螺旋,它们的双螺旋结构理论上也一样;

显然它们在 \(4^n\) 中都被算到了。

问题探究

这是因为 DNA 的两条脱氧核苷酸链呈反向平行;
所以只需要先左右翻转再上下翻转(下文简称"完全翻转")就可以得到完全一样的DNA双链。
故初步猜想 DNA 种类数为 \(f_n = \frac{1}{2} \times 4 ^ n\),其中 \(n\) 为碱基对数。

但问题还没有解决:
\(n\) 为偶数时,若 DNA 的上半段与下半段可以互相通过完全翻转得到,该 DNA 并不会被算重。
举例说明一下:

\[\begin{array}{|cc|} 3 \ \ \ \ \ 5\\ A-T \\ A-T \\ T-A \\ T-A \\ 5 \ \ \ \ \ 3\\ \end{array} \ \ \ \ \]

这部分并不难处理:
只需要算出上半段的种类数(\(4^{\frac{n}{2}}\)),下半段完全翻转过去即可。

简单总结一下,可以的到 DNA 计数的柿子:

\[f_n = \begin{cases} \frac{1}{2} \times 4 ^ n, & 2 | (n + 1) \\ \frac{1}{2} \times (4 ^ n + 4 ^ {\frac{n}{2}}), & 2 | n \end{cases} \]

补充说明

课本当中 \(4 ^ n\) 肯定不无道理,经过 \(jmh\)yy 查阅资料后发现:

DNA计数1.jpg

我们也没有考证资料的权威性,也不排除上述问题存在争议的可能;

生命体是一个及其复杂的体系,也许 DNA 两条链存在些许差异只有其他细胞器可以识别;

所以不妨认定长度为 \(n\) 的 DNA 双链有 \(4 ^ n\) 种。

问题延伸

在不考虑生物学的情况下,DNA 的上述性质可以扩展并加以探究;

由于本人学业繁(bu)忙(xing),还没有完成这方面的学习,有机会一定出道题,八说了,写作业去了。

posted @ 2020-03-03 14:53  15owzLy1  阅读(...)  评论(...编辑  收藏