反演

二项式反演

若：

\[g_n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}f_i \]

则：

\[f_n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}(-1)^{n-i}g_i \]

证明：

考虑一个显然正确的式子：

\[f_n=\sum_{m=0}^n[n-m=0]{n\choose m}f_m \]

再考虑一个家喻户晓的性质：

\[\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}=[n=0] \]

这个性质考虑 \((1-1)^n\) 展开是显然的。

把下式代入上式：

\[f_n=\sum_{m=0}^n\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k{n-m\choose k}{n\choose m}f_m \]

\[f_n=\sum_{m=0}^n\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k{n\choose k}{n-k\choose m}f_m \]

\[f_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}\sum_{m=0}^{n-k}{n-k\choose m}f_m \]

\[f_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}g_{n-k} \]

\[f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}g_i \]

原式得证。

\(g_n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}f_i\iff f_n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}(-1)^{n-i}g_i\)

\(g_k=\sum_{i=k}^n{i\choose k}f_i\iff f_k=\sum_{i=k}^n{i\choose k}(-1)^{i-k}g_i\)

考虑这两个式子的组合意义。

当 \(g_i\) 表示至多 \(i\) 个，\(f_i\) 表示恰好 \(i\) 个时，第一个式子成立。

当 \(g_i\) 表示至少 \(i\) 个，\(f_i\) 表示恰好 \(i\) 个时，第二个式子成立。

子集反演

若：

\[G(S)=\sum_{T\subset S}F(T) \]

则：

\[F(S)=\sum_{T\subset S}(-1)^{|S|-|T|}G(T) \]

证明：

类似上面的证明，我们可以给出两个式子：

\[F(S)=\sum_{T\subset S}[|S|-|T|=0]F(T) \]

\[\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|}=[|S|=0] \]

得到：

\[F(S)=\sum_{T\subset S}\sum_{P\subset S-T}(-1)^{|P|}F(T) \]

\[F(S)=\sum_{P\subset S}(-1)^{|P|}\sum_{T\subset S-P}F(T) \]

\[F(S)=\sum_{P\subset S}(-1)^{|P|}G(S-P) \]

\[F(S)=\sum_{T\subset S}(-1)^{|S|-|T|}G(T) \]

原式得证。

打公式好累呀，先咕一会