第三章作业

1.1 递归方程式、定义及边界条件

• 定义：设 s[i][j] 表示从数字三角形顶部（第1行第1列）走到第 i 行第 j 列时的最大路径和。

• 递归方程式：当 i > 1 时，第 i 行第 j 列的最大路径和，等于该位置自身值加上其上方相邻的第 i-1 行第 j-1 列、第 i-1 行第 j 列的最大路径和的较大值，即：
   s[i][j] = 自身值 + max(s[i-1][j-1], s[i-1][j])

• 边界条件：当 i = 1 （三角形第1行）时，仅存在1个元素，其最大路径和为自身值，即：
   s[1][1] = 第1行第1列的原始值

1.2 填表法分析

• 表的维度：使用二维表格 s ，维度为 n * n （ n 为数字三角形的行数）， s[i][j] 对应上述定义的最大路径和。

• 填表范围：行范围为第1行到第 n 行（ i = 1 到 i = n ）；列范围为第 i 行的第1列到第 i 列（ j = 1 到 j = i ）（因第 i 行包含 i 个元素）。

• 填表顺序：采用“从上到下、从左到右”的顺序填表：先填第1行（仅填充 s[1][1] ），再依次填充第2行到第 n 行，每行内从左到右填写每个元素（ j 从1到 i ）。

• 原问题的最优值：数字三角形的最大路径和是第 n 行所有元素的最大值，即 max(s[n][1], s[n][2], ..., s[n][n]) 。

1.3 时间和空间复杂度分析

• 时间复杂度：填表需遍历三角形的所有元素，元素总数为 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 ，每个元素的计算仅需常数时间（加法、取最大值操作），因此时间复杂度为 O(n²) 。

• 空间复杂度：使用 n * n 的二维数组 s 存储中间结果，因此空间复杂度为 O(n²) 。