dtoi4694 rng

题意：

     有一个长度为n的序列a，a[i]在[li,ri]中独立均匀随机生成。求期望的逆序对个数。

题解：

     显然由于独立生成，所以可以每对逆序对单独考虑。

     我们将每一块[i,i+1](i∈Z)的区间称之为“第i块”。那么假设a[i]有pi的概率选到第x块,a[j]有pj的概率选到第y块(i<j,x>y)，那么贡献就是pi*pj。如果是x<y，贡献显然为0，如果x=y，那么贡献为1/2*pi*pj。这样我们可以得到O(n^2)的做法。

     当然这样不够快，我们可以分开考虑x>y和x=y的贡献。

     由于是均匀随机的，所以每一个块的概率是一定的。那么我们用一个线段树来表示分到第i块的概率总和，那么就可以解决x=y的贡献，就是1/2*pi*sum，sum表示从第l[i]块到第r[i]-1块的概率总和（线段树维护）。

     x>y不太好弄，如果我们对于i，找所有的块来贡献答案，并不能做，因为系数不一样。那我们倒过来考虑，对于i，它能对前面哪些块造成多大的贡献。计算一下，第l[i]块贡献为0，第l[i]+1块贡献为pi，第l[i]+2块贡献为2*pi，这恰好是一个等差数列！我们可以使用线段树维护等差数列，然后即可解决这道题目。

     如果不知道怎么线段树维护等差数列的，可以看一看下面这一段文字（会就不用看了）

     如果我们要插入一段l,r的区间，公差为a的等差数列，那么第i个位置的值就为a*(i-l)（本题首项为0），a*(i-l)=a*i-a*l，所以可以维护两颗线段树，一颗维护a*i的值（即维护系数），一颗区间加上(-a*l)，查询的时候只需要用第一颗线段树加上第二颗线段树的值即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int mod=998244353,INF=110000000;
int n,l[100002],r[100002],cnt=1,ct=1,ct2=1;
long long ans;
typedef struct{
    long long sum,f;
    int ls,rs;
}P;
P p[10000002];
typedef struct{
    long long sum,f;
    int ls,rs;
}PP;
PP q[10000002];
typedef struct{
    long long sum,f;
    int ls,rs;
}PPP;
PPP t[10000002];
long long ccj(long long x,long long y){
    long long ans=1;
    while(y)
    {
        if (y&1)ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;y>>=1;
    }
    return ans;
}
void pushdown(int root,int begin,int mid,int end){
    if (p[root].f)
    {
        if (!p[root].ls)p[root].ls=++cnt;
        if (!p[root].rs)p[root].rs=++cnt;
        p[p[root].ls].sum=(p[p[root].ls].sum+p[root].f*(mid-begin+1)%mod)%mod;
        p[p[root].rs].sum=(p[p[root].rs].sum+p[root].f*(end-mid)%mod)%mod;
        p[p[root].ls].f=(p[p[root].ls].f+p[root].f)%mod;
        p[p[root].rs].f=(p[p[root].rs].f+p[root].f)%mod;
        p[root].f=0;
    }
}
void gengxin(int root,int begin,int end,int begin2,int end2,long long z){
    if (begin2>end2)return;
    if (begin>=begin2 && end<=end2)
    {
        p[root].sum=(p[root].sum+z*(end-begin+1))%mod;p[root].f=(p[root].f+z)%mod;
        return;
    }
    int mid=(begin+end)/2;pushdown(root,begin,mid,end);
    if (!(begin>end2 || mid<begin2))
    {
        if (!p[root].ls)p[root].ls=++cnt;
        gengxin(p[root].ls,begin,mid,begin2,end2,z);
    }
    if (!(mid+1>end2 || end<begin2))
    {
        if (!p[root].rs)p[root].rs=++cnt;
        gengxin(p[root].rs,mid+1,end,begin2,end2,z);
    }
    p[root].sum=(p[p[root].ls].sum+p[p[root].rs].sum)%mod;
}
long long chaxun(int root,int begin,int end,int begin2,int end2){
    if (begin2>end2 || begin>end2 || end<begin2 || !root)return 0;
    if (begin>=begin2 && end<=end2)return p[root].sum;
    int mid=(begin+end)/2;pushdown(root,begin,mid,end);
    return (chaxun(p[root].ls,begin,mid,begin2,end2)+chaxun(p[root].rs,mid+1,end,begin2,end2))%mod;
}
long long js(long long a,long long b){
    return ((a+b)*(b-a+1)/2)%mod;
}
void pd(int root,int begin,int mid,int end){
    if (q[root].f)
    {
        if (!q[root].ls)q[root].ls=++ct;
        if (!q[root].rs)q[root].rs=++ct;
        q[q[root].ls].sum=(q[q[root].ls].sum+q[root].f*js(begin,mid)%mod)%mod;
        q[q[root].rs].sum=(q[q[root].rs].sum+q[root].f*js(mid+1,end)%mod)%mod;
        q[q[root].ls].f=(q[q[root].ls].f+q[root].f)%mod;
        q[q[root].rs].f=(q[q[root].rs].f+q[root].f)%mod;
        q[root].f=0;
    }
}
void gx1(int root,int begin,int end,int begin2,int end2,long long z){
    if (begin2>end2)return;
    if (begin>=begin2 && end<=end2)
    {
        q[root].sum=(q[root].sum+z*js(begin,end)%mod)%mod;q[root].f=(q[root].f+z)%mod;
        return;
    }
    int mid=(begin+end)/2;pd(root,begin,mid,end);
    if (!(begin>end2 || mid<begin2))
    {
        if (!q[root].ls)q[root].ls=++ct;
        gx1(q[root].ls,begin,mid,begin2,end2,z);
    }
    if (!(mid+1>end2 || end<begin2))
    {
        if (!q[root].rs)q[root].rs=++ct;
        gx1(q[root].rs,mid+1,end,begin2,end2,z);
    }
    q[root].sum=(q[q[root].ls].sum+q[q[root].rs].sum)%mod;
}
void pd2(int root,int begin,int mid,int end){
    if (t[root].f)
    {
        if (!t[root].ls)t[root].ls=++ct2;
        if (!t[root].rs)t[root].rs=++ct2;
        t[t[root].ls].sum=(t[t[root].ls].sum+t[root].f*(mid-begin+1)%mod)%mod;
        t[t[root].rs].sum=(t[t[root].rs].sum+t[root].f*(end-mid)%mod)%mod;
        t[t[root].ls].f=(t[t[root].ls].f+t[root].f)%mod;
        t[t[root].rs].f=(t[t[root].rs].f+t[root].f)%mod;
        t[root].f=0;
    }
}
void gx2(int root,int begin,int end,int begin2,int end2,long long z){
    if (begin2>end2)return;
    if (begin>=begin2 && end<=end2)
    {
        t[root].sum=(t[root].sum+z*(end-begin+1)%mod)%mod;t[root].f=(t[root].f+z)%mod;
        return;
    }
    int mid=(begin+end)/2;pd2(root,begin,mid,end);
    if (!(begin>end2 || mid<begin2))
    {
        if (!t[root].ls)t[root].ls=++ct2;
        gx2(t[root].ls,begin,mid,begin2,end2,z);
    }
    if (!(mid+1>end2 || end<begin2))
    {
        if (!t[root].rs)t[root].rs=++ct2;
        gx2(t[root].rs,mid+1,end,begin2,end2,z);
    }
    t[root].sum=(t[t[root].ls].sum+t[t[root].rs].sum)%mod;
}
long long cx(int r1,int r2,int begin,int end,int begin2,int end2){
    if (begin2>end2 || begin>end2 || end<begin2)return 0;
    if (begin>=begin2 && end<=end2)return (q[r1].sum+t[r2].sum)%mod;
    int mid=(begin+end)/2;pd(r1,begin,mid,end);pd2(r2,begin,mid,end);
    return (cx(q[r1].ls,t[r2].ls,begin,mid,begin2,end2)+cx(q[r1].rs,t[r2].rs,mid+1,end,begin2,end2))%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&l[i],&r[i]);
    for (int i=n;i>=1;i--)
    {
        int len=r[i]-l[i];long long ny=ccj(len,mod-2);
        ans=(ans+ny*cx(1,1,0,INF,l[i],r[i]-1)%mod+ccj(2,mod-2)*ny%mod*chaxun(1,0,INF,l[i],r[i]-1)%mod)%mod;
        gengxin(1,0,INF,l[i],r[i]-1,ny);
        gx1(1,0,INF,l[i],r[i],ny);gx2(1,0,INF,l[i],r[i],((-(ny*l[i]%mod))+mod)%mod);
        gx2(1,0,INF,r[i]+1,INF,1);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}