Obtain a Permutation

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题目描述：

 

 Input：

The first line of the input contains two integers nn and mm (1≤n,m≤2⋅105,n⋅m≤2⋅1051≤n,m≤2⋅105,n⋅m≤2⋅105) — the size of the matrix.

The next nn lines contain mm integers each. The number at the line ii and position jj is ai,jai,j (1≤ai,j≤2⋅1051≤ai,j≤2⋅105).

Output：

Print one integer — the minimum number of moves required to obtain the matrix, where a1,1=1,a1,2=2,…,a1,m=m,a2,1=m+1,a2,2=m+2,…,an,m=n⋅ma1,1=1,a1,2=2,…,a1,m=m,a2,1=m+1,a2,2=m+2,…,an,m=n⋅m (ai,j=(i−1)m+jai,j=(i−1)m+j).

 

Examples:

input1：

3 3

3 2 1

1 2 3

4 5 6

output1：

6

input2：

4 3

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

output2：

0

input3：

3 4

1 6 3 4

5 10 7 8

9 2 11 12

output：

2

思路：

先观察一下两种操作：

• 单点修改
• 整列上移

发现了什么？不同列之间互不影响，所以我们可以对于每一列分开处理。

那么，对于一列 jj，因为“先修改，后上移”和“先上移，后修改”没有本质区别，所以我们定义 same_{j, i}samej,i​（0\le i <n0≤i<n）表示将第 jj 列上移 ii 个单位后，有几个数是不用变的。那么上移了 ii 个单位以后，自然还有 n - same_{j, i}n−samej,i​ 个数是需要变的，那么就要花费 n - same_{j,i}n−samej,i​ 次修改操作，上移也花费了 ii 次操作，那第 jj 列的最优方案就是 \min\limits_{0 \le i < n } \left(i + n - same_{j, i} \right)0≤i<nmin​(i+n−samej,i​)，最终答案就是：

ans = \sum_{j = 1}^{m}\left( \min\limits_{0 \le i < n } \left(i + n - same_{j, i} \right) \right)ans=j=1∑m​(0≤i<nmin​(i+n−samej,i​))

现在唯一的问题就是如何求出 samesame 了。我们发现，如果一个数 a_{i, j}ai,j​ 是 应该出现在第 \boldsymbol{j}j 列 的数字，那么一定有 j \le a_{i,j} \le n \times mj≤ai,j​≤n×m，同时 a_{i, j} \equiv j \pmod{m}ai,j​≡j(modm)（后者在代码里写作了 (a[i][j] - j) % m）。

如果上面的条件满足了，那我们就可以算一下 a_{i,j}ai,j​ 这个数字应该出现在哪一行。显然，它应该出现在 \dfrac{a_{i,j} - j}{m} + 1mai,j​−j​+1 行（记作 kk）。

那如果我们把 a_{i,j}ai,j​ 移到第 kk 行，它就不用变了。回顾 samesame 的定义，从第 ii 行移到第 kk 行，要移动几次呢？

• 如果 i \ge ki≥k，移动 i - ki−k 个单位即可；
• 如果 i < ki<k，那首先把它移到第 11 行需要 i - 1i−1 次，然后再移 11 次到第 nn 行，从第 nn 行移到第 kk 行需要 n - kn−k 次，加起来，就是 i - 1 + 1 + n - ki−1+1+n−k，化简得 i - k + ni−k+n。

如果合并的话，就是要移动 (i - k + n) \bmod n(i−k+n)modn 次，那么我们就可以把 same_{j, (i - k + n) \bmod n}samej,(i−k+n)modn​ 增加 11 了。

注意 n, mn,m 都有可能达到 2 \times 10^52×105，所以需要开不定长数组，时间复杂度 \mathcal O(nm)O(nm)。samesame 可以每列重复使用，舍去前一个维度。

#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef  long long ll;
typedef pair<ll,ll> pi;
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false)
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
#define mod 1000000000 + 7
#define PI acos(-1.0)
#define INF   1e18
#define eps 1e-8
#define N 2000000 + 5
/*********************Code*********************/
ll n,m,s[N],ans;
vector<ll>a[N];
int main(void){
    IOS;
    cin>>n>>m;
    for(ll i = 1;i <=n;i++){
        a[i].push_back(0);
        for(ll j = 1;j <=m;j++){
            ll x;
            cin>>x;
            a[i].push_back(x);
        }
    }
    for(ll j = 1;j <=m;j++){
        ll tans = INF;
        for(ll i = 0;i < n;i++)
            s[i] = 0;
        for(ll i = 1;i <=n;i++){
            if(a[i][j]<j||a[i][j]>n*m||(a[i][j]-j)%m)
                continue;
            ll k = (a[i][j]-j)/m+1;
            s[(i-k+n)%n]++;
        }
        for(ll i = 0;i < n;i++)
            tans = min(tans,i+n-s[i]);
        ans +=tans;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}