Alice和Bob赌糖果【赌徒破产模型】

题意

\(\text{Alice}\) 从 \([l, r]\) 中随机抽一个数，\(\text{Bob}\) 从 \([L, R]\) 中随机抽一个数，谁抽的数大谁就赢，输的一方给另一方\(1\) 颗糖（平局不用给糖），他们会一直赌下去直到有一方没有糖果为止。 \(\text{Alice}\) 有 \(n\) 颗糖果，\(\text{Bob}\) 有 \(m\) 颗糖果，求 \(\text{Alice}\) 将 \(\text{Bob}\) 的糖果赢完的概率。

\(0\leq n,m \leq 1e5,n+m > 0,1 \leq l \leq r \leq 100,1\leq L \leq R\leq 100\)

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/14962

分析

\(f_i\) 表示 \(\text{Alice}\) 能从 \(i\) 颗糖果赢到 \(n+m\) 颗的概率，\(f_0=0\) 表示一开始就输了，\(f_{n+m}=1\) 表示胜利，要求的答案为 ：\(f_n\)。\(p\) 为 \(\text{Alice}\) 每次赢的概率，\(q\) 为每次输的概率。

按照题目的条件，每次取整数，循环两个区间暴力即可求出 \(p,q\)。

有：

\[f_i=p*f_{i+1}+q*f_{i-1}+(1-p-q)*f_{i} \]

设 \(f_{i-1}=k_{i-1}*f_i\)，代入，得：

\[k_i=\frac{p}{p+q-q*k_{i-1}}\ \ \ \ 1\leq i \leq n+m-1 \]

并且，\(k_0=0\)。

最终结果从 \(f_{n+m}=1\) 倒推，根据 \(f_{i-1}=k_{i-1}*f_i\)，即可求出 \(f_n\)。

特判：

当 \(p=0\ 且\ p=0\) 时，计算 \(k_i\) 时，分母可能为 \(0\)。可以证明，当其中一个不为 \(0\) 时，分母不可能为 \(0\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=2e5+5;
double k[N];
int main()
{
    int n,m,l,r,L,R;
    scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);
    scanf("%d%d%d",&m,&L,&R);
    int a=0,b=0,c=0;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        for(int j=L;j<=R;j++)
        {
           a+=(i>j?1:0);
           b+=(i<j?1:0);
           c++;
        }
    }
    double p=1.0*a/c,q=1.0*b/c,ans=1.0;
    if(p==0&&q==0)
        ans=0;
    else
    {
        k[0]=0;
        for(int i=1;i<m+n;i++)
            k[i]=p/(p+q-q*k[i-1]);
        for(int i=n+m-1;i>=n;i--)//f[n+m]=1
            ans*=k[i];
    }
    printf("%.5f\n",ans);
    return 0;
}