Sum of gcd of Tuples【容斥定理】

题意：

  考虑长度为 \(N\) 且由 \(1\) 到 \(K\) 之间的整数组成的序列 \({A_1,...,A_N}\)（包括 \(K\)）。有 \(K^N\) 个这样的序列，求出 \(gcd(A_1,...,A_N)\) 的总和。由于此总和可能非常大，因此请取模 \(10^9+7\)。
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分析：

  以 \(dp[i]\) 表示 \(gcd\) 为 \(i\) 的序列个数，\([1,k]\) 内 \(i\) 的倍数的个数为 \(\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\)。序列总数为：\({\lfloor \frac{k}{i} \rfloor}^n\)，同时由于会出现重复，所以要减去 \(gcd\) 为 \(i*2,i*3,...\) 的情况，循环要从大到小。
  一开始直接减，发现有一部分多减了（具体见代码注释部分）。即当两个数均为 \(i\) 的倍数且倍数互质，那么二者的 \(gcd\) 仍为 \(i\)，即序列中不一定要出现 \(i\)。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
const int N=1e5+5;
ll dp[N];
ll power(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res%mod;
}
int main()
{
    int n,k;
    ll ans=0;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=k;i>=1;i--)//以i为gcd
    {
        int tk=k/i;
        dp[i]=power(1LL*tk,1LL*n);
        for(int j=i*2;j<=k;j+=i)
            dp[i]-=dp[j];
        //ll t=power(1LL*tk,1LL*n)-power(1LL*(tk-1),1LL*n);cout<<i<<"="<<t<<endl;
        ans=(ans+dp[i]*i%mod+mod)%mod;//cout<<ans<<endl;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}