最小环问题
问题：
给出一个图，问其中的有 \(n\) 个节点构成的边权和最小的环 \((n\geq 3)\) 是多大。
暴力做法：
删除掉 \(u\) 和 \(v\) 之间的边，如何求出 \(u\to v\) 的不经过该边的最短路，加上该边即可。
\(Dijsktra\)：
在暴力算法的基础上，优化求最短路的过程。
枚举所有边，每一次求删除一条边之后对这条边的起点跑一次 \(Dijkstra\)，道理同上。
复杂度：\(O(m*nlogn)\)
\(Floyd\)：
记原图中\(u,v\) 之间边的边权为 \(val(u,v)\)。
\(Floyd\) 算法有一个性质：
当外层循环到 \(k\) （尚未开始第 \(k\) 次循环）时，最短路数组 \(dis[u][v]\)中， 表示的是从 \(u\) 到 \(v\) 且仅经过编号在 \([1,k)\) 区间中的点的最短路。
显然，一个环可以表示为 \(u \to v\) 的不经过点 \(k\) 的最短路\(+ u\)到 \(k\) 的距离\(+ v\)到 \(k\) 的距离。但是正常的 \(Floyd\) 算法过程中，点 \(k\) 会把任意两点之间的最短路更新。如果 \(u\) 到 \(v\) 的最短路中出现了 \(k\) ，那么就不满足要求。
可以采用如下做法：
由最小环的定义可知其至少有三个顶点，设其中编号最大的顶点为 \(maxn\)，环上与 \(maxn\) 相邻两侧的两个点为 \(u,v\) ，则在最外层循环枚举到 \(maxn\) 时，
该环的长度为：\(val(u,v)+val(u,maxn)+val(v,maxn)\)。
故在循环时对于每个 \(k\)，枚举满足 \((i<k,j<k)\) 的 \(i,j\)，更新答案即可。
复杂度：\(O(n^3)\)
代码实现：
int floyd(int n)
{
int ans=inf;
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<k;i++)
for(int j=i+1;j<k;j++)
ans=min(dis[i][j]+pic[i][k]+pic[k][j],ans);//最小环
for(int i=1;i<=n;i++)//正常的Floyd求最短路
for(int j=1;j<=n;j++)
dis[i][j]=min(dis[i][k]+dis[k][j],dis[i][j]);
}
return ans;
}
模板：【HDU-1599】无向带权图
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=1e8;
int dis[105][105],pic[105][105];
int floyd(int n)
{
int ans=inf;
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<k;i++)
for(int j=i+1;j<k;j++)
ans=min(dis[i][j]+pic[i][k]+pic[k][j],ans);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
dis[i][j]=min(dis[i][k]+dis[k][j],dis[i][j]);
}
return ans;
}
int main()
{
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
dis[i][j]=inf;
if(i==j)
dis[i][j]=0;
pic[i][j]=dis[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,w;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
dis[x][y]=min(dis[x][y],w);
dis[y][x]=dis[x][y];
pic[x][y]=pic[y][x]=dis[x][y];
}
int ans=floyd(n);
if(ans==inf)
printf("It's impossible.\n");
else
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
Sightseeing trip POJ - 1734【Floyd存最小环路径】
因为要存路径，一开始用 \(dijsktra\)，然后果断超时。
最后还是得用 \(floyd\)，在原来的基础上增加一个 \(turn\) 数组，用来存两个点之间的转折点。寻找路径的过程，就是一个递归的过程，见代码。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <string>
using namespace std;
const int inf=1e8+7;
const int N=110;
int pic[N][N],dis[N][N],path[N],turn[N][N];
int n;
void read(int &x)
{
x=0;
int f=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
{
if(ch=='-')
f=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
ch=getchar();
}
x*=f;
}
void getway(int &cnt,int a,int b)
{
if(turn[a][b]==-1)
return;//无转折点
getway(cnt,a,turn[a][b]);
path[++cnt]=turn[a][b];
getway(cnt,turn[a][b],b);
}
int floyd(int &num)
{
int res=inf;
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<k;i++)
{
for(int j=i+1;j<k;j++)
{
if(dis[i][j]+pic[i][k]+pic[j][k]<res)
{
res=dis[i][j]+pic[i][k]+pic[j][k];
num=0;
path[++num]=i;
path[++num]=k;
path[++num]=j;
getway(num,j,i);
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
{
dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
turn[i][j]=k;
}
}
}
}
return res;
}
int main()
{
int m,ans=inf;
read(n);
read(m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
pic[i][j]=inf;
turn[i][j]=-1;
if(i==j)
pic[i][j]=0;
dis[i][j]=pic[i][j];
}
}
int u,v,w;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
read(u);
read(v);
read(w);
pic[u][v]=min(pic[u][v],w);
pic[v][u]=pic[u][v];
dis[u][v]=dis[v][u]=pic[u][v];
}
int num=0;
ans=floyd(num);
if(ans==inf)
printf("No solution.\n");
else
{
for(int i=1;i<=num;i++)
printf("%d%c",path[i],i==num?'\n':' ');
}
return 0;
}
补充一个\(floyd\)求路径的博客floyd多源最短路+打印路径
